Modeli poliedara su već objavljeni ovde (http://master.forblabla.com/blog/45755567715/Mnogogranniki), ali bih želeo da dodam svoj. Veza je ista, do wenninger.narod.ru. Prvo sam dobio knjigu, onda sam, kada sam se spojio na internet, čak napisao pismo autoru i dobio odgovor, onda su knjiga i pismo izgubljeni, ali sam našao sajt i nastavio da pravim modele.

Ako ste zainteresovani mogu slikati svaku ponaosob.

Alexander

Pa na zahtjev radnika postavljam fotografije svih poliedara. Ne sjećam se baš imena, klasifikujem ih po poliedarskom kutu. Knjiga (Wenninger. Modeli poliedara) sadrži i poliedre i njihove zvijezde. Platonska tijela su 5 konveksnih pravilnih poliedara. Imaju isti tip lica (pravilni trouglovi, kvadrati i peterokuti) i svi poliedarski uglovi su isti. Arhimed je dodao još 13 konveksnih polupravilnih poliedara (lice su različiti poligoni, ali su svi uglovi i dalje isti). Ali ako uzmemo ne konveksne poligone (knjiga koristi trokute, kvadrate, peterokute, osmougaonike i dekagone), već njihove oblike zvijezda (petougaone, osmougaone i dekagonalne zvijezde), onda ćemo dobiti puno novih poliedara. Osim toga, lica se mogu povezati i u obliku zvijezda, tako da se nekonveksni poliedri mogu sastojati i od zvjezdastih poligona i od konveksnih.

Konačno, kao što nastavak linija konveksni poligon pretvara u zvijezdasti, tako i nastavak ivica formira zvijezdaste oblike. Istina, poznata su samo 4 pravilna poliedra ovog tipa (sva tri zvjezdana oblika dodekaedra i jedan zvjezdani oblik ikosaedra), drugi ili imaju lica koja su nepravilni mnogouglovi, ili se poliedar raspada na nekoliko zasebnih poliedara.

Posebnu ljepotu daju oblici kod kojih su rubovi vidljivi s obje strane, kao i oni koji sadrže rupe, plus oni čiji se dijelovi dodiruju samo svojim vrhovima.

Naravno, poliedri imaju svoju matematiku, ali o tome kasnije.

Fotografije su praćene modelima poliedarskih uglova. Ovo je osnova piramide, koja će se dobiti ako se od vrha poliedra odsiječe komad, kao od kolača. 3, 4, 5, 6, 8 i 10 označavaju konveksne poligone, 5/2, 8/3 i 10/3 - pentagonalnu, osmougaonu i desetougaonu zvijezdu (niz vrhova čini 2, 3 i 3 okreta oko centra, redom ).

Idemo. Prvo trouglovi. (u zagradama su brojevi modela iz knjige).

Beskonačna porodica prizmi.

Trouglasta prizma.

Četverokutna prizma, heksaedar, kocka (3).

Pentagonalna prizma i njen oblik zvijezde.

Heksagonalna prizma.

Tetraedar (1).

Dodekaedar (5) i njegova tri zvjezdana oblika, koji su pravilni poliedri: mali zvjezdani dodekaedar (20), veliki dodekaedar (21) i veliki zvjezdani dodekaedar (22):

Krnji tetraedar (6).

Skraćeni oktaedar (7).

Skraćeni heksaedar (kocka) (8).

Krnji ikosaedar (9). Tako su se nekada šivale fudbalske lopte.

Skraćeni dodekaedar (10).

Rombički skraćeni kuboktaedar (15).

Rombički skraćeni ikozidodekaedar (16).

Kvazi skraćeni heksaedar (92).

Kvazi skraćeni kuboktaedar (93).

Veliki kvazi krnji ikosidodekaedar (bio je. Avaj, bio je krhak iznutra i jednog dana se slomio). (108)

Pređimo na poliedre sa 4 lica koja se sastaju u uglu.

Prvo, figura vrha je u obliku kvadrata.

Beskonačna porodica antiprizme.

Trouglasta antiprizma, oktaedar (2), i njegov zvjezdani oblik - zvjezdani oktaedar (19).

Kvadratna antiprizma i njene dvije zvijezde.

Kuboktaedar (11) i njegove zvjezdane forme (43 - 46).

Ikosidodekaedar (12) i njegove stellacije (47, 63, 64), a ima ih dosta u knjizi.

Rombikuboktaedar (13) i njegov zvezdasti oblik.

Ali ovaj poliedar (pseudorombokubooktaedar) je izazvao mnogo buke, jer... objavljena je samo 2000 godina nakon Arhimeda (na prijelazu 50-60-ih godina 20. stoljeća). U stvari, ima nedostatak: kada sam rekao da polupravilni poliedri imaju iste uglove (model vrhova), možete primijetiti da je redoslijed prelaska lica susjednih vrhova uvijek preslikan, na primjer, ako jedan vrh ima lica u red 3- 4-4-4 u smjeru kazaljke na satu, tada susjedni vrh ima isti red, ali suprotno od kazaljke na satu. Dakle, pseudorhombokubooktaedar ima parove vrhova koji nemaju zrcalnu simetriju.

Rombikozidodekaedar (14).

Mali ikosoikozidodekaedar (71).

Dodekododekaedar (73).

Rombododekaedar (76).

Veliki ikosidodekaedar (94).

Veliki dodekoikozidodekaedar (99).

Sada poliedri, koji također imaju 4 lica koja se sastaju u jednom vrhu, ali je redoslijed unakrs:

Tetrahemiheksaedar (67).

Oktahemioktaedar (68).

Mali kubokuboktaedar (69).

Opštinska obrazovna ustanova Mozharov - Srednja škola Maidanskaya

Obrazovno-istraživački rad

na temu

„Neobični poliedri

od papira"

Završeno:

Učenik 9. razreda A.V. Kolbasov

supervizor:

nastavnik matematike Pogodina A.A.

Relevantnost odabrane teme:

Vidio sam neobične papirnate poliedre u origami stilu i odlučio sam napraviti neke od njih vlastitim rukama.

Cilj:

razvoj kognitivni interes do neobičnih oblika poliedara.

zainteresovati druge za takve neobične poliedre.

Zadaci:

proučavati istoriju poliedara;

materijal za učenje o izradi poliedara od papira u origami stilu;

dokazati sebi da ja to mogu;

pokazati drugima kako da to urade.

Istorija figura

Drevna matematička nauka ima svoje korijene u dalekoj prošlosti, u vrijeme prosperiteta starog Rima i Grčke. Tada je bilo uobičajeno povezati tehničke aspekte sa filozofskim. Stoga, prema učenju Platona (jednog od drevnih grčkih mislilaca), svaki od poliedara, koji se sastoji od određenog broja identičnih ravnina, simbolizira jedan element. Figure iz trokuta - oktaedar, ikosaedar i tetraedar - povezane su sa zrakom, vodom i vatrom, respektivno, i mogu se transformirati jedna u drugu zbog ujednačenosti lica, od kojih svako ima tri vrha. Zemlju simbolizira heksaedar kvadrata. A dodekaedar, zahvaljujući svojim posebnim peterokutnim licima, igra dekorativnu ulogu i prototip je harmonije i mira. Poznato je i da je jedan od grčkih matematičara, Euklid, u svom učenju „Elementi“ dokazao jedinstvenost pomenutih Platonovih tela i njihovo svojstvo „uklapanja“ u sferu.

Pravilni poliedri

Sve figure se razlikuju jedna od druge po različitom broju lica i njihovom obliku. Osim toga, neki modeli se mogu presavijati iz jednog lista (kao što je opisano u primjeru izrade ikosaedra), drugi - samo sastavljanjem nekoliko modula. Pravilni poliedri se smatraju klasičnim. Izrađeni su od papira, pridržavajući se glavnog pravila simetrije - prisutnost potpuno identičnih rubova u predlošku. Postoji pet glavnih tipova takvih figura. Tabela pruža informacije o njihovim nazivima, brojevima i oblicima rubova:

Radovi od papira– to nisu samo razne razglednice i aplikacije izrađene u obliku ravnih proizvoda. Trodimenzionalni modeli figura su vrlo originalni (fotografija 1). Na primjer, možete konstruirati poliedar od papira. Pogledajmo neke načine kako to učiniti pomoću dijagrama i fotografija.

Prikazani poliedar je napravljen od papira preklapanjem dvadeset međusobno povezanih jednakokračnih trouglova. Dijagram jasno pokazuje obrazac za izradu figure. Pogledajmo bliže sve faze rada na stvaranju ikosaedra. Pravljenje 20-edra Ikosaedar se sastoji od jednakokračnih trouglova jednake veličine. Lako se može sklopiti pomoću razvoja prikazanog na slici 2. Uzmite pravougaoni komad papira. Na njemu nacrtajte dvadeset trokuta iste veličine i oblika, poređajući ih u četiri reda. U ovom slučaju, svako lice jednog će istovremeno biti strana drugog. Upotrijebite rezultirajući predložak da napravite prazninu. Od osnovnog razvrtača će se razlikovati po prisutnosti dodataka za lijepljenje duž svih vanjskih linija. Nakon što izrežete blanko iz papira, savijte ga duž linija. Kada formirate poliedar od papira, zatvorite vanjske redove jedan s drugim. U ovom slučaju, vrhovi trokuta će se spojiti u jednu tačku.

Raznolikost figura

Na osnovu gore navedenih pet tipova, koristeći vještinu i maštu, majstori mogu lako konstruirati mnogo različitih modela papira. Poliedar može biti potpuno drugačiji od pet gore opisanih figura, formirajući se istovremeno od lica različitih oblika, na primjer, od kvadrata i trokuta. Ovako se dobijaju Arhimedova čvrsta tela. A ako preskočite jednu ili više ivica, dobićete otvorenu figuru, vidljivu i spolja i iznutra. Za izradu trodimenzionalnih modela koriste se posebni uzorci, izrezani od prilično debelog papira koji dobro drži oblik. Od papira prave i posebne poliedre. Dizajn takvih proizvoda predviđa prisutnost dodatnih, izbočenih modula. Pogledajmo načine za konstruiranje vrlo lijepe figure koristeći dodekaedar kao primjer (fotografija 3).Kako napraviti poliedar sa dvanaest vrhova od papira: prva metoda Ova figura se naziva i zvjezdani dodekaedar. Svaki od njegovih vrhova u osnovi je pravilan pentagon. Stoga se takvi poliedri izrađuju od papira na dva načina. Šeme za proizvodnju malo će se razlikovati jedna od druge. U prvom slučaju radi se o jednom dijelu (slika 3),

kao rezultat presavijanja, dobiva se gotov proizvod. Pored glavnih lica, crtež sadrži spojne dijelove za lijepljenje, zahvaljujući kojima se figura zatvara u jedinstvenu cjelinu. Da biste napravili poliedar drugom metodom, potrebno je napraviti nekoliko predložaka zasebno. Pogledajmo detaljnije proces rada. Kako napraviti poliedar od papira: drugi način Napravite dva glavna šablona

Prvo. Nacrtajte krug na listu i podijelite ga poprečno na dva dijela. Jedan će biti osnova za uzorak, odmah obrišite luk drugog radi praktičnosti. Podijelite dio na pet jednakih dijelova i ograničite sve polumjere na poprečne segmente. Rezultat će biti pet identičnih jednakokračnih trokuta povezanih zajedno. Nacrtajte pored srednjeg segmenta potpuno isti polukrug, samo u zrcalnoj slici. Kada se presavije, rezultirajući dio izgleda kao dva konusa. Napravite ukupno šest takvih sličnih šablona. Za njihovo lijepljenje koristi se drugi dio koji će se postaviti unutra.

Drugo. Ovaj šablon je petokraka zvijezda. Popunite istih dvanaest praznina. Da bi se formirao poliedar, svaka od zvijezda sa svojim krajevima savijenim prema gore stavlja se unutar dijelova u obliku konusa i lijepi na rubove. Potpuna montaža figure postiže se povezivanjem dvostrukih blokova s dodatnim komadima papira, pomičući ih prema unutra. Prilikom modeliranja proizvoda prilično je problematično učiniti ih različitim po veličini. Gotove modele papirnih poliedara nije tako lako povećati. Da bi se to postiglo, nije dovoljno samo napraviti dopuštenja duž svih vanjskih granica. Morate skalirati svako od lica zasebno. Ovo je jedini način da dobijete uvećanu kopiju originalnog modela. Koristeći drugu metodu izrade poliedra, to je mnogo lakše učiniti, jer će biti dovoljno povećati početne praznine, od kojih je već napravljen potreban broj pojedinačnih dijelova.

Dodekaedar tehnikom origami

Origami modul je odlična osnova za dodekaedar. Trebat će vam 30 pravokutnih ili kvadratnih listova papira. Svaki od listova je presavijen na pola, a zatim svaku polovicu treba saviti u suprotnom smjeru - dobivate "harmoniku" u četiri nabora. Ponekad, ako list nije četvrtast, prave "harmoniku" u tri nabora. Kao rezultat, imate usku traku pro-uglja u svojim rukama. Zatim, sa svake strane pravokutnika duž uske strane, trebate saviti kut. Uglovi se savijaju u jednom smjeru - to su budući pričvršćivači koji će biti uvučeni u harmoniku. Zatim savijte modul prema unutra dijagonalno od malih bočnih uglova. Dakle, jedan modul za origami dodekaedar je trodimenzionalan, uključuje dvije ivice buduće figure i uglove. Kada su svi moduli spremni, montaža može početi.

Montaža počinje s jednom jedinicom, za koju trebate uzeti tri modula. Na slici ispod su plavi, roze i žuti origami moduli. Dijagrami montaže su prilično jednostavni, a čak i početnici mogu lako rukovati takvim figurama (36 praznina).

Koje se zanate mogu napraviti na osnovu dodekaedra?

Svaka strana papirnatog dodekaedra je ravan pentagon, koji sam po sebi može biti osnova za široku lepezu bizarnih oblika. Na primjer, na fotografiji ispod pentagon je zamijenjen zvijezdom petokrakom.

Na takvoj figuri nema rebara, iako bi trebalo. Kako napraviti dodekaedar od papira u obliku zvijezde? U gore prikazanom razvoju, zamijenite svaki petougao traženom petokrakom i povežite ih ne duž rubova, već na vrhovima. Ova fotografija prikazuje zvezdasti dodekaedar. Svaka "zraka" je zasnovana na istom pentagonu. Umjesto peterokutnih piramida može se napraviti bilo koja trodimenzionalna figura.

Poliedar tetraedara.

Izrađujemo 30 modula (praznih)

zaključak: Izrada neobičnih poliedara od papira u origami stilu razvija prostornu maštu, poboljšava motoriku prstiju i čini osobu svrsishodnijom i marljivijom.

Stvaranje zanata vlastitim rukama zanimljivo je ne samo djeci, već i odraslima. Međutim, izmišljen je dovoljan broj modela za odrasle, koji se razlikuju po složenosti implementacije i vremenu utrošenom na njihovu izradu. Nedavno su odrasli i djeca postali zainteresirani za stvaranje složenih geometrijskih oblika. Ova vrsta figura uključuje ikosaedar, koji je pravilan poligon i jedno je od Platonovih tijela - pravilnih poliedara. Ova figura ima 20 trokutastih lica (jednakostraničnih trokuta), 30 ivica i 12 vrhova, koji su spoj 5 ivica. Sastavljanje ispravnog ikosaedra od papira je prilično teško, ali zanimljivo. Ako ste strastveni origami, onda vam neće biti teško napraviti ikosaedar od papira vlastitim rukama. Napravite ga od obojenog valovitog papira,folija,papir za cveće. Koristeći različite materijale, možete dodati još više velika lepotica i spektakularnost do njegovog ikosaedra. Sve ovisi samo o mašti njegovog kreatora i dostupnom materijalu na stolu.

Nudimo vam nekoliko opcija za razvoj ikosaedra, koji se mogu ispisati, prenijeti na debeli papir i karton, saviti po linijama i zalijepiti.

Kako napraviti ikosaedar od papira: dijagram

Da biste sastavili ikosaedar od lista papira ili kartona, prvo morate pripremiti sljedeće materijale:

raspored ikosaedra;
PVA ljepilo;
škare;
vladar.

Kada kreirate ikosaedar, važno je da se okrenete posebnu pažnju o procesu savijanja svih dijelova: da biste ravnomjerno savijali papir, možete koristiti običan ravnalo.

Važno je napomenuti da se ikosaedar može naći i u svakodnevni život. Na primjer, u obliku skraćenog ikosaedra (poliedar koji se sastoji od 12 peterokuta i 20 šesterokuta ispravan oblik) napravio fudbalsku loptu. Ovo je posebno vidljivo ako dobijeni ikosaedar obojite u crno-bijelo, poput same lopte.

Takvu fudbalsku loptu možete sami napraviti tako što ćete prvo odštampati skeniranu kopiju skraćenog ikosaedra u 2 primjerka:

Izrada ikosaedra vlastitim rukama je zanimljiv proces koji zahtijeva promišljenost, strpljenje i puno papira. Međutim, rezultat dobiven na kraju bit će ugodan za oko dugo vremena. Ikosaedar se može dati djetetu da se igra ako je već napunilo tri godine. Igrajući se sa tako složenom geometrijskom figurom, on će se razviti ne samo maštovitom razmišljanju, prostorne vještine, ali i da se upoznaju sa svijetom geometrije. Ako odrasla osoba odluči sama stvoriti ikosaedar, tada će mu takav kreativni proces konstruiranja ikosaedra omogućiti da provede vrijeme i da pokaže svojim voljenima svoju sposobnost stvaranja složenih oblika.

papirni modeli

Prilikom konstruiranja papirnih modela poliedara, preporučujem da postupite na sljedeći način:

1. Napravite crteže ivica. Ako želite da napravite model srednje veličine, možete jednostavno odštampati crteže date na stranici posvećenoj odgovarajućem poliedru. Ako želite da napravite model druge veličine, morate sami dovršiti crtež. Budite vrlo oprezni, tačnost crteža određuje koliko će se dijelovi dobro uklopiti.

2. Napravite šablonu prema crtežu. Da biste to učinili, stavite crtež na list debelog kartona i probušite oba lista na vrhovima poligona iglom ili tankim šilom. Oštrom olovkom povežite nastale ubode duž ravnala. Pažljivo izrežite šablonu nožem ili makazama, odmaknuvši se od linije olovke za oko 0,5 cm.

3. Odaberite materijal od kojeg ćete napraviti model. Za modele srednje veličine, debeli papir za crtanje dobro funkcionira. Također je dobro koristiti tanki sjajni karton. Ako pravite veliki model, morate odabrati gušći materijal kako se model ne bi srušio vlastitu težinu. Ako to uradiš model u boji, morate koristiti materijal u boji ili ga sami obojiti prije nego što napravite praznine.

4. Koristeći šablonu, napravite potreban broj praznina. Da biste napravili blanko, postavite šablon na list materijala koji ste odabrali za model i napravite ubode u vrhovima poligona. Sada oštar predmet- iglom ili šilom - nacrtajte granice i preklopite linije između uboda. Ako koristite dovoljno debeo karton, možete koristiti vrlo oštrim nožem, pažljivo rezajući karton na trećinu njegove debljine.

5. Izrežite dijelove, ostavljajući polja za naljepnice s kojima će dijelovi biti povezani, veličine od 0,3 do 0,5 cm Postoji nekoliko tehnologija za povezivanje dijelova (o njima se govori u nastavku); ostavite one naljepnice koje su potrebne za tehnologiju koju odaberete. Izrežite uglove radnih komada tako da rez prolazi tačno kroz ubod.

6. Pažljivo savijte dijelove duž linija koje ste nacrtali. Ako je preklop jako dugačak (više od 8 cm), onda kako ne biste zgužvali radni komad, upotrijebite ravnalo, pritiskajući njime radni komad duž linije preklopa.

7. Ovaj korak možete preskočiti, ali ako pravite jednobojni model, ovaj tretman će imati velike koristi. Nakon što ogulite naljepnice, pažljivo obojite rebra budućeg modela crnom tintom. Da biste izbjegli mrlje na radnim komadima, bojite rebra jedno po jedno, bez započinjanja sljedećeg dok se prethodno ne osuši. Vrlo je zgodno raditi na "transporter" način, praveći više identičnih komada istovremeno - obojite po jednu ivicu svakog komada, a kada obradite zadnji dio, prvi je potpuno suh i možete početi farbati sledeća ivica.

8. Ako model ima vrlo oštre poligonalne uglove, dodatno obrežite uglove naljepnica. To ne treba činiti prerano, inače će biti teško pažljivo odlijepiti naljepnice. Pokušajte ostaviti što više prostora za lijepljenje. više prostora. Odrežite samo toliko da naljepnice ne ometaju rubove i jedni druge u blizini vrhova poliedra.

9. Kada su svi dijelovi spremni, možete pristupiti lijepljenju modela. Postoje četiri načina lijepljenja dijelova:

Dvostruke naljepnice. Naljepnice se zadržavaju na svakoj ivici svakog dijela. Naljepnice se lijepe jedna na drugu, ostaju unutar modela; rezultat su rebra dvostruke debljine. Ova rebra čine model vrlo čvrstim i izdržljivim.
Pojedinačne naljepnice. Naljepnica se ostavlja samo na jednom dijelu i lijepi na drugi. Ova metoda je loša jer se ispostavlja da je lijepljenje asimetrično, a model neuredan. Ne preporučujem korištenje ove metode. Međutim, u proizvodnji nekih modela, prilikom spajanja pojedinih dijelova, potrebno je koristiti ovu metodu, jer nije moguće napraviti dvostruku naljepnicu. Svi takvi slučajevi su posebno obrađeni u tekstu.
Lepljenje dupeta. Metoda zahtijeva veliku pažnju. Prilikom lijepljenja od kraja do kraja, naljepnice uopće ne ostaju. Dijelovi se spajaju bez ljepila, a zatim se ljepilo gusto nanosi na granicu između njih. Dijelove treba držati dok se ljepilo ne osuši. Ovu metodu treba koristiti samo kada se pravi relativno jednostavni modeli(gde se delovi lako drže dok se ne osuše) od veoma gustog materijala. Osim toga, ponekad "guza" mora biti jako pričvršćena sitnih detalja- tako mali da je gotovo nemoguće napraviti naljepnicu.
Lepljenje dodatnim materijalom. Naljepnice se, kao i kod sučelja lijepljenja, ne prave. Dijelovi se drže zajedno s trakom tankog papira (na primjer, paus papira) premazanom ljepilom ili trakom. Na ovaj način je teško napraviti tačan model.
Izbor ljepila je važan. Prije izrade modela testirajte ljepilo na komadima istog papira s kojim ćete raditi. Potrebno je da ljepilo nakon sušenja ne iskrivi papir i ne ostavi mrlje na njemu. Osim toga, ljepilo bi trebalo da se veže dovoljno brzo (manje od minute, tako da dijelove ne morate držati nekoliko dana), ali ne odmah (tako da možete malo pomjeriti već spojene dijelove kako biste postigli uredan rezultat ). Posljednji, ali vrlo važan zahtjev je da ljepilo ne smije biti otrovno. Ako ćete praviti model, nećete moći da radite u haubi i moraćete da udišete pare ljepila za sušenje.

Od dostupnih ljepila, najbolje je koristiti PVA. Ovaj ljepilo ispunjava sve zahtjeve. Bezbojan je i ne savija papir, veže se za 10-20 sekundi i potpuno je netoksičan (emituje vodenu paru kada se osuši). Osim toga, PVA se može razrijediti vodom do željene gustoće. Činjenica je da je ponekad (na primjer, kod lijepljenja velikih dijelova) zgodnije raditi s tekućim ljepilom, koje se malo sporije stvrdnjava, ali u drugim slučajevima (za male ili teško dostupne dijelove) želite da ljepilo postaviti brže. Naravno, možete koristiti nekoliko različitih ljepila, ali upotreba mješavine PVA i vode u pravom omjeru je mnogo prikladnija. Maksimalno preporučeno razrjeđivanje je 1:1, ali se najčešće koristi mješavina jednog dijela vode i dva dijela ljepila.

Postupak lijepljenja je prilično jednostavan. Na obje naljepnice nanesete ravnomjeran tanak sloj ljepila i pritisnete ih zajedno. Dijelove treba lagano pomjeriti kako bi se ljepilo ravnomjerno rasporedilo po naljepnicama. Nakon što se dijelovi unesu ispravan položaj, treba ih čvrsto stisnuti i pričekati da se ljepilo osuši. S vremena na vrijeme trebate koristiti pincetu ili, još bolje, hirurške pincete. Ovi alati su posebno korisni u završnim fazama kada morate raditi unutar modela kroz malu rupu. Osim toga, prilikom izrade složenih modela ponekad je potrebno koristiti široke ravne stezaljke za držanje naljepnica dok se ljepilo potpuno ne osuši.

Primjeri.

Tetrahedron

Tetraedar pripada porodici Platonovih tijela, to jest, tetraedar je najjednostavniji poliedar njegova lica su identični pravilni poligoni, svi njegovi poliedarski uglovi su jednaki.

Tetraedar je prostorni analog ravnog jednakostraničnog trougla jer ima najmanji broj strana koje odvajaju dio trodimenzionalnog prostora. Model tetraedra omogućava bojenje u četiri boje koje zadovoljava princip bojanja karata. Započnite izradu modela sa četiri blanka. Ne zaboravite ostaviti naljepnice sa svake strane. Zalijepite tri prazna mjesta na strane četvrtog. Dobićete veliki trougao koji se sastoji od četiri prazna polja. Spojite nezalijepljene bočne ivice i zalijepite dvije zajedno. Zatim prekrijte preostale naljepnice ljepilom i zalijepite zadnji rub, kao da zatvarate kutiju. Držite model neko vrijeme za rebra kako bi unutrašnji naponi i ljepilo završili svoj posao.

Ime tetraedar
oznaka 3|2 3
lica 4
rebra 6
vrhovi 4
nekonveksna lica 0
rub

količina 4

Dodecahedron

Dodekaedar je predstavnik porodice Platonovih tijela, odnosno pravilnih konveksnih poliedara. Dodekaedar ima dvanaest pentagonalnih lica, sastaju se po tri na vrhovima. Ovaj poliedar je izuzetan po tri oblika u obliku zvijezde.

Dodekaedar priznaje dvije zanimljive boje. Prva je bojanje u četiri boje. Međutim, s ovim bojanjem, suprotna lica koja leže u paralelnim ravnima dobivaju drugačiju boju. Druga opcija je slikanje u šest boja, u kojem su suprotne ivice obojene istom bojom.

Prva opcija bojenja - 4 boje

Druga opcija bojenja - 6 boja

Konstrukcija modela počinje lijepljenjem pet peterokuta na jedan središnji pentagon. Nakon toga, bočni peterokuti su zalijepljeni - i polovina modela je spremna. Ostaje samo zalijepiti preostale ivice na njega.

Ime dodecahedron
oznaka 3|2 5
lica 12
rebra 30
vrhovi 20
nekonveksna lica 0
rub

količina 12

Ikosaedar

Ikosaedar je predstavnik porodice Platonovih tijela, odnosno pravilnih konveksnih poliedara. Ikosaedar ima dvadeset trouglastih lica, koja se spajaju na vrhovima pet.

Ikosaedar ima dvije spektakularne petobojne boje. Prvo, može se obojiti tako da svaki vrh ima svih pet boja (ali suprotne ivice neće biti obojene isto). Kod druge opcije bojenja, suprotne ivice su obojene istom bojom, ali na svim vrhovima, osim na dva dijametralno suprotna „pola“, jedna od boja se pojavljuje dvaput.

Prva opcija bojenja

Druga opcija bojenja

Možete početi graditi model lijepljenjem pet trouglova u nisku peterokutnu piramidu bez osnove. Sljedećih pet trouglova zalijepljeno je na stranice njegove baze. Između njih zalijepite jedan trougao - pet lica treba da se sastane na svakom vrhu. Na kraju, da završite model, zalijepite zadnjih pet trouglova.

Ime ikosaedar
oznaka 5|2 3
lica 20
rebra 30
vrhovi 12
nekonveksna lica 0
rub

količina 20

Rombikuboktaedar

Rombikuboktaedar pripada porodici arhimedovih čvrstih tijela, odnosno polupravilnih konveksnih poliedara. Ime poliedra objašnjava njegovo porijeklo - dobiva se rombičkim skraćivanjem kuboktaedra. Najprirodnija boja ovog tijela je kada su mnoga kvadratna lica podijeljena u dva višebojna podskupa - kubnog i rombičnog porijekla, a trokuti naslijeđeni od oktaedra dobijaju treću boju.

Rombokuboktaedar je posebno zanimljiv zbog svoje veze sa pseudorhombokuboktaedrom, poliedrom koji takođe pripada porodici arhimedovih čvrstih tela, ali otkriven tek u 20. veku.
Kada pravite ovaj model, možete započeti lijepljenjem pet kvadrata u neku vrstu križa. Trokuti se zatim zalijepe između četiri kvadrata križa i imate zdjelu sa osmougaonim gornjim rubom. Osam kvadrata je zalijepljeno na labave naljepnice. Nakon toga, lako je završiti model lijepljenjem dijelova jedan po jedan. Bilo koji od trouglova se lijepi zadnji.

Ime rombikuboktaedar
oznaka 3 4|2
lica 26
rebra 48
vrhovi 24
nekonveksna lica 0
rub

količina 8 18

Rombički skraćeni ikozidodekaedar

Rombični skraćeni ikozidodekaedar pripada porodici arhimedovih čvrstih tijela, odnosno polupravilnih konveksnih poliedara. Dobiva se iz ikosidodekaedra koristeći drugačiju verziju rombičnog skraćenja od rombikozidodekaedra. Ovaj poliedar omogućava jednostavno bojenje - svi dekagoni preostali od dodekaedra su obojeni u jednu boju, heksagoni naslijeđeni od oktaedra - u drugu, kvadrati rombičnog porijekla - u treću.
Da biste konstruirali model, okružite deseterokut naizmjeničnim kvadratima i šesterokutima. Pričvrstite sljedeće deseterokute, okružujući ih prstenovima ivica druga dva tipa. Kao rezultat, svaka dva dekagona će biti razdvojena takvim prstenom.

Ime rombični skraćeni ikozidodekaedar
oznaka 2 3 5|
lica 62
rebra 180
vrhovi 120
nekonveksna lica 0
rub

količina 30 20 12

Veliki dodekaedar

Veliki dodekaedar pripada porodici Kepler-Poinsotovih tijela, odnosno pravilnih nekonveksnih poliedara. Lica velikog dodekaedra sijeku peterokute. Vrhovi velikog dodekaedra se poklapaju sa vrhovima opisanog ikosaedra.

Veliki dodekaedar prvi je opisao Louis Poinsot 1809.

Veliki model dodekaedra omogućava bojenje u šest boja, pri čemu paralelna lica dobijaju istu boju. Ovo bojenje zadovoljava princip bojanja karata.
Da biste napravili model, spojite praznine zajedno da dobijete 20 trokutastih piramida sa naljepnicama okrenutim prema van. Zatim zalijepite piramide zajedno na način koji podsjeća na metodu lijepljenja ikosaedra.
Ime veliki dodekaedar
oznaka 5/2 2|5
lica 12
rebra 30
vrhovi 12
nekonveksna lica 0
rub

količina 12

Oktahemioktaedar

Ovaj poliedar je fasetirani kuboktaedar. Ponekad se naziva i oktatetraedar. Četiri ekvatorijalne heksagonalne strane poliedra dijele ivice sa osam trouglastih lica.

Drugi fasetirani oblik kubooktaedra je kubohemioktaedar.

Model se može obojiti u pet boja, pri čemu su četiri ekvatorijalna heksagonalna lica obojena u četiri različite boje, a sva vanjska trokutasta lica dobijaju petu boju. Ovo bojenje zadovoljava princip bojanja karata.
Baš kao i kada se pravi model tetrahemiheksaedra, postoje dva načina za izradu ovog modela.

Koristeći prvi metod, napravite osam tetraedara, ostavljajući žljebove na nekim od njihovih rubova i jezičke na nekima od njih. Sami odlučite koje naljepnice treba oguliti, a koje ostati unutra. Obratke spojite umetanjem pera u odgovarajuće žljebove.

U drugoj metodi pravite šest zdjela — piramide bez dna s kvadratnim osnovama — i povezujete ih naljepnicama dvostruke debljine. Na kraju se lijepe vanjske trokutaste ivice.
Ime oktahemioktaedar
oznaka 3/2 3|3
lica 12
rebra 24
vrhovi 12
nekonveksna lica 0
rub

količina 8 4

Mali bitrigonalni ikozidodekaedar

Ovaj poliedar se sastoji od 12 pentagrama na stranama dodekaedra i 20 trouglova na stranama ikosaedra. Lako je primijetiti da se na svakom vrhu lica pojavljuju u tripletima naizmjeničnim redoslijedom, zbog čega se poliedar naziva bitrigonalni ikosidodekaedar.

Pentagrami se mogu obojiti u šest boja tako da suprotne zvijezde budu iste boje. Da biste sačuvali osnovni princip bojanja karata pri odabiru boja za trokutasta lica, morate se obratiti drugoj shemi za bojanje ikosaedra.

Crtež i opis proizvodnje modela ovog poliedra još nisu dostupni.

Ime mali bitrigonalni ikozidodekaedar
oznaka 3|5/2 3
lica 32
rebra 60
vrhovi 20
nekonveksna lica 12
rub 3 5/2
količina 20 12

Zanati sa decom. FUDBALSKA LOPTA I POLIEDRI OD PAPIRA U BOJI.

Među mojim čitaocima ima dosta vaspitača i voditelja likovnih klubova, s tim u vezi povremeno objavljujem postove sa rukotvorinama sa djecom i za djecu.

Inače, svim roditeljima bih preporučio veoma dobar dečiji studio „Teremok“, koji postoji dve godine i afirmisao se kao jedan od najboljih studija u vaspitno-obrazovnom radu sa decom. "Teremok" će pomoći vašem djetetu da pronađe zajednički jezik u komunikaciji s vršnjacima, razvije poštovanje prema starijima, zabavi ga organiziranjem praznika i takmičenja i još mnogo, mnogo više. Djeci je veoma potrebno, od samog početka rano doba, usaditi ljubav prema kreativnosti. To razvija njihovu radoznalost, širi vidike i usađuje ljubav prema poslu. Studio ima veoma dobar umetnički klub različite vrste i žanrovi likovne umjetnosti. Više o studiju možete saznati na web stranici - http://teremok64.ru.

A sada, str Predlažem da zaokupite djecu i da s njima napravite poliedre od papira u boji. To će ih ne samo očarati, već će steći prva znanja iz matematike. Ispod, ispod reza, nalazi se pet šablona za neke poligone koje treba odštampati i uvećati. Sve je vrlo lako i jednostavno, rezati, savijati i lijepiti. Veoma prekrasan vijenac, vedro, veselo i sunčano)

Možete napraviti model fudbalske lopte. Da biste to učinili, preporučljivo je uzeti deblji papir.

U prilogu je šablon lopte u prirodnoj veličini koji se sastoji od osam stranica.

Prilog: