Usmeno brojanje postoji sve dok postoji čovečanstvo. Vještine u različito vrijeme brzo brojanje odigrao je veliku ulogu u razvoju ne samo ljudi, već čitavog čovječanstva. Sada je nauka toliko uznapredovala da se za proračune koriste moćni kompjuteri, a čovjek jednostavno nije u stanju da izvrši onoliko proračuna koliko je potrebno samo da pokrene Veliki hadronski sudarač ili običan pametni telefon.

Ali čak i sada, kada kompjuterski sistemi vode računovodstvene evidencije za milione kompanija, automatizuju sve složene i rutinske operacije u preduzećima, fabrikama, aerodromima, pa čak i u prodavnicama - brzo brojanje nije izgubio i neće izgubiti svoju relevantnost.

Primjeri vježbi za mentalno brojanje

Voćna matematika

1. Razvija raspon pažnje.
2. Poboljšava logiku.

Igra Fruit Math će vam pomoći da poboljšate svoje razmišljanje. Suština igre je da na slici koja vam je predstavljena treba da odaberete odgovor "da" ili "ne" na pitanje "ima li 5 identičnih plodova?" Pratite svoj cilj i ova igra će vam pomoći u tome.

Numerička pokrivenost

1. Razvija kapacitet memorije.
2. Poboljšava semantičku memoriju.

Morate zapamtiti brojeve i reproducirati ih ispravnim redoslijedom. Možete koristiti tastaturu.

Vještine mentalnog računanja

Vještine mentalnog računanja su različiti i prije nego što krenete dalje, odgovorite na nekoliko pitanja:

1. Da li želite da naučite brzo broji u tvojim mislima?
2. U koju svrhu želite naučite brzo brojati?
3. Koliko često koristite kalkulator?
4. Da li se uvijek osjećate ugodno koristeći kalkulator?
5. Koliko vremena trošite na pronalaženje ili pokretanje na svom telefonu/računaru?
6. Da li biste brzo naučili da računate za svoj intelektualni razvoj?
7. Ti želiš brzo prebrojite sitninu u radnji?
8. Da li često trebate izvoditi složene matematičke operacije?
9. Zar ne želite da se svaki put naprežete da biste nešto prebrojali u glavi?
10. Da li ste zainteresovani za sveobuhvatan ili visoko specijalizovan razvoj inteligencije?
11. Želite li postati genije ili samo proširiti svoje vidike? :)

To su bila pitanja o kojima je trebalo razmisliti. Oni pomažu ne samo da vas uključe u proces, već i da pokažu alternativne opcije kada su vještine brzog brojanja vrlo potrebne. Razmislite, možda ćete pronaći druge prednosti, koje druge prednosti može donijeti ova matematička vještina.

Ako ste barem na jedno od pitanja odgovorili sa DA, onda se nadam da ćete naučiti da bolje izrađujete mentalnu matematiku.

Lekcije mentalne aritmetike

Da učim brzo broji mentalno, moraćete svaki dan da trenirate svoj mozak. Radite vježbe mentalnog brojanja 15-30 minuta dnevno. Već u prvim danima primijetit ćete rezultat, većina postiže uspjeh već na prvoj lekciji.

Sjećam se da je tako bilo i kod mene, kada dugo nisam ni o čemu razmišljao i odlučio da vidim šta je ostalo od mojih nekadašnjih sposobnosti. U početku sam brojio vrlo sporo, a onda sam postajao sve brži. Na prvoj lekciji sam počeo brzo da sabiram skoro sve trocifrene brojeve. Razvoj pamćenja igra veoma važnu ulogu u procesu brojanja. Što je bolje pamćenje razvijeno, brže se pamte najčešće kombinacije.

Kao rezultat toga, mozak pamti različite opcije i proizvodi rezultate brže. Dakle, brojanje se tada odvija više iz pamćenja nego iz proračuna. Za izračunavanje složenih akcija, rezultati jednostavnijih mogu se uzeti iz memorije.

Lekcije mentalne aritmetike online

Koristi tehnike mentalnog brojanja 15-20 minuta dnevno, rezultat ćete osjetiti već na prvim časovima. Uskoro će se tamo pojaviti zanimljivi simulatori mentalnog brojanja koji podučavaju ovu umjetnost na razigran način.

Igre za razvoj mentalne aritmetike

Da li ste ikada pomislili: " Kako lako i zanimljivo vježbati brojanje?“. Najvjerovatnije da, jer je jako teško trenirati mentalno računanje na tradicionalan način, kao što je to uobičajeno u školi.

Naš mozak voli da se igra, voli zanimljive zadatke u kojima je napredak vidljiv u grafikonima ili tačkama. Zbog toga su mnogi naučnici proučavali funkcionisanje mozga tokom prošlog veka. Otkrili su da se vještine najbolje razvijaju kroz igru. Igrajte 3-5 utakmica dnevno, po 2 minute i vidjet ćete rezultat. Brzina vaših odgovora i bodovi koje zaradite postepeno će se povećavati.

Igra "Pogodi operaciju"

Ovo je jedan od najboljih vježbe za vježbanje brojanja, jer ćete morati da umetnete ispravne matematičke simbole da biste dobili tačan rezultat. Ova vježba će vam pomoći da se razvijete usmeno brojanje, logika i brzina misli. Sa svakim tačnim odgovorom težina se povećava.

Igra "Matematičke matrice"

"Matematičke matrice" je odlična vježba za razvoj usmeno brojanje koji će pomoći u razvoju mentalnog funkcionisanja mozga, usmeno brojanje, brza pretraga potrebnih komponenti, pažnja. Suština igre je da igrač od predloženih 16 brojeva mora pronaći par koji će se sabrati u zadati broj, na primjer, na slici je broj “29”, a željeni par je “5” i “ 24”.

Igra "Kasica-prasica"

Ne mogu odoljeti a da Vam ne preporučim igricu “Kasica-prasica” sa istog sajta na kojem se trebate registrovati, navedite samo Vaš E-mail i lozinku. Ova igra će vam pružiti kondiciju za vaš mozak i opuštanje za vaše tijelo. Suština igre je ukazivanje na 1 od 4 prozora u kojima je količina novčića najveća. Hoćete li moći pokazati odlične rezultate? Čekamo vas.

Igra "Matematička poređenja"

Predstavljam vam divnu igricu “Matematička poređenja” kojom možete opustiti tijelo i napeti mozak. Snimak ekrana prikazuje primjer ove igre, u kojoj će biti pitanje vezano za sliku, na koje ćete morati odgovoriti. Vrijeme je ograničeno. Koliko ćete vremena imati da odgovorite?

Igra "2 nazad"

Za razvoj mentalne aritmetike Preporučujemo vježbu “2 leđa”. Ova igra pomaže u razvoju mentalne aritmetike, pamćenja i pažnje. Na ekranu će se prikazati niz brojeva koje trebate zapamtiti, a zatim uporedite broj posljednje kartice sa prethodnom. Ova vježba ne trenira samo mentalnu aritmetiku, već i mozak u cjelini. Vježba je dostupna nakon registracije, jeste li spremni? Rastite sa nama.

Igra "Vizuelna geometrija"

"Vizualna geometrija" - vježba koja će vam pomoći da ubrzate tok misli i povećate pamćenje i pamćenje. Sa svakim uspješno završenim nivoom igra postaje sve teža. Igra pomaže u razvoju mentalne aritmetike. Koliko nivoa možete završiti?

Pored ovih vježbi postoji više od 30 besplatnih edukativnih simulatora igara koje su dostupne odmah nakon registracije.

Da biste dobili pristup besplatnim igrama, potrebno je samo da se registrujete i unesete svoju e-poštu i lozinku (ili se prijavite putem društvenih mreža).

Usmeni obračun za Jedinstveni državni ispit i državni ispit

Usmeno brojanje Može biti od koristi i na ispitima iz matematike, uključujući i jedinstveni državni ispit, koji pišu svi učenici jedanaestog razreda. Ova vještina će vam pomoći da manje brinete o složenim proračunima. Razbijte ih na manje matematičke operacije koje je lakše izračunati u svojoj glavi.

Mentalna aritmetika poboljšava ne samo vaše računske sposobnosti, već i druge mentalne strateške operacije, poput pamćenja, što će vam omogućiti da još brže i bolje zapamtite bilo koju informaciju i svoje nove sposobnosti primijeniti ne samo na ispitima, već iu svakodnevnom životu.

Da biste naučili brže i bolje da se pripremite za Jedinstveni državni ispit ili državni ispit, prijavite se na kurs „Ubrzavanje mentalne aritmetike, A NE mentalne aritmetike“. Na kursu ćete ne samo naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje i računanje postotaka, već ćete ih uvježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.

Mentalna aritmetika u matematici

Obuka i časovi mentalne aritmetike savršeni su za odrasle i djecu školskog uzrasta. Djeci su posebno potrebne jer tek uče da broje, ali školarcima 1, 2 i 3 razreda potrebne su jednostavnije lekcije mentalne aritmetike u matematici.

Za učenike osnovne škole sasvim su dovoljne jednostavne aritmetičke vježbe. Ali kako se oni mogu istrenirati, pogotovo ako to radite na razigran način.

Igra "Doseg broja: Revolucija"

Zanimljiva i korisna igra "Numeric Span: Revolution", koja će vam pomoći da poboljšate svoje pamćenje. Suština igre je da će na monitoru biti prikazani brojevi redom, jedan po jedan, koje treba zapamtiti i potom reproducirati. Takvi lanci će se sastojati od 4, 5, pa čak i 6 cifara. Vrijeme je ograničeno. Oboriti dnevni rekord među svim igračima.

Tečajevi za mentalnu aritmetiku i razvoj mozga

Ubrzavamo mentalnu aritmetiku, NE mentalnu

Tajne i popularne tehnike i lajf hakovi, prikladni čak i za dijete. Na kursu ćete ne samo naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo oduzimanje, sabiranje, množenje, dijeljenje i procentualno računanje, već ćete ih vježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama. Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.

Razvoj pamćenja i pažnje kod djeteta od 5-10 godina

Svrha kursa: razviti djetetovo pamćenje i pažnju kako bi mu bilo lakše učiti u školi, kako bi bolje pamtilo.

Nakon završenog kursa, dijete će moći:

1. 2-5 puta bolje pamtiti tekstove, lica, brojeve, riječi
2. Naučite da pamtite na duži vremenski period
3. Brzina prisjećanja potrebnih informacija će se povećati

Super memorija za 30 dana

Čim se prijavite na ovaj kurs, započećete moćnu 30-dnevnu obuku za razvoj super-pamćenja i pumpanja mozga.

U roku od 30 dana nakon pretplate, dobit ćete zanimljive vježbe i edukativne igre na svoju e-poštu koje možete primijeniti u svom životu.

Naučićemo da pamtimo sve što može biti potrebno u poslu ili privatnom životu: naučiti da pamtimo tekstove, nizove reči, brojeva, slika, događaje koji su se desili tokom dana, nedelje, meseca, pa čak i mape puta.

Kako poboljšati pamćenje i razviti pažnju

Besplatna praktična lekcija od unapred.

Novac i način razmišljanja milionera

Zašto postoje problemi sa novcem? U ovom kursu ćemo detaljno odgovoriti na ovo pitanje, pogledati duboko u problem i razmotriti naš odnos s novcem sa psihološke, ekonomske i emocionalne tačke gledišta. Sa kursa ćete naučiti šta trebate učiniti kako biste riješili sve svoje finansijske probleme, uštedjeli novac i uložili ga u budućnost.

Brzo čitanje za 30 dana

Prijavite se za kurs brzog čitanja za 30 dana da naučite čitati 3-4 puta brže. Od 2015. godine, 1.507 ljudi iz Moskve, Sankt Peterburga, Jekaterinburga, Novosibirska, Kazana, Čeljabinska, Ufe, Orenburga, Nižnjeg Novgoroda, Kijeva, Minska i drugih gradova studiralo je u okviru našeg programa.

Zaključak

U ovom članku dao sam opću ideju o tome usmeno brojanje, načini razvoja mentalnog brojanja, simulatori, govorili su o kursu “Ubrzavanje mentalnog brojanja, A NE mentalne aritmetike”, koji će vam pomoći da naučite računati nadzvučnom brzinom.

Na kursu ćete ne samo naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje i računanje postotaka, već ćete ih uvježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.

Ogranak MBOU Tokarevskaya srednje škole br. 1 u selu Poletaevo

Istraživački rad

naučni rukovodilac: Zueva Irina Petrovna

nastavnik matematike

Poletaevo 2016

Uvod.

Poglavlje I. Proučavanje teorije

1.1. Pojava brojanja među primitivnim ljudima

1.2. Promjena rezultata kada se pojavi civilizacija

1.3. Prva literatura o metodama brojanja

1.4. Tablica množenja na prstima

1.5. Ljudi su fenomeni koji brzo broje

Poglavlje II. Eksperimenti i analiza rješenja

2.1. Množenje sa 11 brojeva čiji je zbir cifara manji od 10

2.2. Množenjem sa 11 broj čiji je zbir cifara veći od 10.

2.4 Množenje sa 22,33,…,99

2.5 Množenje brojem 111, 1111 itd., poznavajući pravila

množenje dvocifrenog broja brojem 11.

2.6. Množenje dvocifrenog broja sa 101, 1001 itd.

2.7. Pomnožite sa 37

Zaključci.

Spisak korišćene literature.

Uvod.

Učestvovati na konferenciji kreativnih radova školaraca “Small Facets”. Brzo sam se odlučila za izbor teme. Oduvijek me je zanimalo koje metode koriste nastavnici matematike kada provjeravaju sveske, kada objašnjavaju novo gradivo, kada moraju brzo da naprave računicu. Određene tehnike brzog brojanja predložene na času bile su mi lake, ali što više učimo o matematici, to više želim da naučim o tome kako možemo koristiti brzo brojanje i za složenije brojeve.

Fajl će biti ovdje:/data/edu/files/i1461402798.pptx (Nestandardne tehnike usmenog brojanja)

Ja sam odabrao temu" Nestandardne tehnike mentalnog brojanja» jer volim matematiku i volio bih naučiti računati brzo i ispravno, a da ne koristim kalkulator.

Postavio sam sebi problem: pronaći i razmotriti nestandardne metode usmenog brzog brojanja koje nisu direktno obrađene u školskom kursu matematike.

Predmet proučavanja- računske vještine i brza računanja u prirodnim predmetima - časovi matematike.

Predmet istraživanja- nestandardne tehnike i vještine mentalnog brojanja pri množenju prirodnih brojeva.

Zadaci1) naučiti o pojednostavljenim, nestandardnim metodama mentalnih proračuna prilikom množenja prirodnih brojeva.

2) razmotriti i pokazati na primjerima upotrebu nestandardnih metoda pri množenju i dijeljenju brojeva.

Metode istraživanja:

1) prikupljanje informacija;

2) sistematizacija i generalizacija.

Targetistraživački rad: proučiti metode i tehnike brzog brojanja i dokazati potrebu za vještinom brzog brojanja i efikasnom upotrebom ovih tehnika.

RelevantnostOdabrana tema je da su sljedeće metode brzog brojanja dizajnirane za um "obične" osobe i ne zahtijevaju jedinstvene sposobnosti. Glavna stvar je manje-više dug trening. Osim toga, ovladavanje ovim vještinama razvija učenikovu logiku i pamćenje.

POGLAVLJE I.

1.1. Kako su ljudi naučili da broje.

U ovoj fazi moram da uronim u istoriju pojave brojanja kako bih shvatio prednosti ljudi koji imaju brze tehnike brojanja.

Niko ne zna kako se taj broj prvi put pojavio, kako je primitivni čovjek počeo da broji. Međutim, prije nekoliko desetina hiljada godina, primitivni čovjek je sakupljao plodove drveća, išao u lov, pecao, naučio da pravi kamenu sjekiru i nož, te je morao brojati razne predmete koje je sretao u svakodnevnom životu. Postepeno se javila potreba da se odgovori na vitalna pitanja: koliko će voća dobiti svaki da bi ga bilo dovoljno za sve, koliko potrošiti danas da se zadrži u rezervi, koliko noževa treba napraviti itd. Tako je čovjek, ne primijetivši, počeo da broji i računa.

U početku je čovjek naučio da prepoznaje pojedinačne predmete. Na primjer, iz čopora vukova, krda jelena, izdvojio je jednog vođu, iz legla pilića - jedno pile itd. Naučivši da razlikuju jedan predmet od mnogih drugih, rekli su „jedan“, a ako ih je bilo više, „mnogo“. Čak i za imenovanje broja "jedan" često su koristili riječ koja je označavala jedan objekt, na primjer "mjesec", "sunce". Ova koincidencija imena predmeta i broja sačuvana je u jeziku nekih naroda do danas.

Česta opažanja skupova koji se sastoje od para objekata (oči, uši, krila, ruke) dovela su čovjeka do ideje o broju dva. Do danas, riječ "dva" na nekim jezicima zvuči isto kao "oči" ili "krila".

Ako je bilo više od dva predmeta, primitivni čovjek je rekao „mnogo“. Čovek je tek postepeno naučio da broji do tri, zatim do pet i do deset itd. Imenovanje svakog broja posebnom riječi bio je veliki korak naprijed.

Ljudi su koristili prste na rukama i nogama da broje. Uostalom, i mala djeca uče da broje na prste. Međutim, ova metoda je bila prikladna samo u roku od dvadeset.

1.2. Promjena rezultata kada se pojavi civilizacija.

Kako se govor razvijao, ljudi su počeli koristiti riječi za predstavljanje brojeva. Više nema potrebe pokazivati ​​nekome prste, kamenčiće ili stvarne predmete kako bi se nazvali njihov broj. Crteži, crteži ili simboli počeli su se koristiti za prikazivanje brojeva. Postojali su i sistemi sa zasebnim simbolima za svaki broj do uključujući 9, kao u arapskom brojevnom sistemu koji sada koristimo, a Grci su imali poseban simbol za 10.

Uz pomoć prstiju ljudi su naučili ne samo da broje velike brojeve, već i da izvode operacije sabiranja i oduzimanja.

Radi lakšeg brojanja, drevni trgovci počeli su stavljati žitarice i školjke na posebnu ploču, koja je vremenom postala poznata kao abakus.

Operacije množenja i dijeljenja, posebno ove posljednje, bile su posebno složene i teške u stara vremena. “Množenje je moja muka, a podjela je nevolja”, govorili su u stara vremena. Tada, kao ni sada, još nije postojala jedna tehnika koju je praksa razvila za svaku akciju. Naprotiv, bilo je u upotrebi gotovo desetak različitih metoda množenja i dijeljenja u isto vrijeme - tehnike su bile složenije od ostalih, a koje osoba prosječnih sposobnosti nije mogla čvrsto zapamtiti. Svaki učitelj brojanja pridržavao se svoje omiljene tehnike, svaki "majstor podjele" (bilo je takvih stručnjaka) hvalio je svoj način izvođenja ove akcije.

1.3. Prva literatura o metodama brojanja.

U knjizi V. Bellustina “Kako su ljudi postepeno dostizali pravu aritmetiku” (1914) ocrtano je 27 metoda množenja, a autor napominje: “Vrlo je moguće da postoji još (metoda) skrivenih u udubljenjima knjižara, raštrkanih u brojnim, uglavnom rukom pisanim zbirkama.” Naš savremeni metod množenja je tamo opisan pod nazivom “šah”. Postojala je i vrlo zanimljiva, precizna, laka, ali glomazna metoda “galije” ili “čamca”, nazvana tako zbog činjenice da se pri dijeljenju brojeva na ovaj način dobije lik sličan čamcu ili kuhinji. Ovaj metod smo koristili sve do sredine 18. veka. („Aritmetika“ je stari ruski udžbenik matematike, koji je Lomonosov nazvao „kapija svog učenja“) koristi isključivo metod „galije“, ali ne koristi ovaj naziv.

Spominju se metode kao što su “preklapanje”, “rešetka”, “pozadi naprijed”, “dijamant”, “trokut” i mnoge druge. Mnoge od ovih tehnika za množenje brojeva su dugotrajne i zahtijevaju obavezno testiranje.

Zanimljivo je da naša metoda množenja nije savršena;

1.4. Tablica množenja na prstima.

Tablica množenja je ono znanje neophodno u životu svake osobe koje treba jednostavno zapamtiti, što u početku nije nimalo elementarno. Zatim, sa lakoćom mađioničara, “kliknemo” primjere za množenje: 2 3, 3 5, 4 6, itd., ali vremenom sve više zaboravljamo na faktore bliže 9, pogotovo ako nismo imali nikakvo brojanje dugo vježbajte, zbog čega se prepuštamo moći kalkulatora ili se uzdamo u svježinu znanja prijatelja. Međutim, savladavši jednu jednostavnu tehniku ​​"ručnog" množenja, lako možemo odbiti usluge kalkulatora. Pojašnjenje: govorimo o školskoj tablici množenja, tj. za brojeve od 2 do 9, pomnožene brojevima od 1 do 10.

Množenje za broj 9 - 9 1, 9 2 ... 9 10 - lakše je zaboraviti iz memorije i teže je ručno preračunati metodom sabiranja, međutim, za broj 9 se množenje lako reproducira "na prsti.” Raširite prste na obe ruke i okrenite ruke sa dlanovima okrenutim od sebe. Mentalno dodijelite prstima brojeve od 1 do 10, počevši od malog prsta lijeve ruke i završavajući malim prstom desne ruke (ovo je prikazano na slici). Recimo da želimo pomnožiti 9 sa 7. Prst savijamo s brojem jednakim broju s kojim ćemo pomnožiti 9. U našem primjeru trebamo saviti prst sa brojem 7. Broj prstiju lijevo savijenog prsta nam pokazuje broj desetica u odgovoru, broj prstiju desno - broj jedinica. Na lijevoj strani imamo 6 nesavijenih prstiju, na desnoj - 3 prsta. Dakle, 9·7=63. Na slici ispod je detaljno prikazan cijeli princip „kalkulacije“.

Drugi primjer: trebate izračunati 9·9=? Usput, recimo da prsti ne mogu nužno djelovati kao „mašina za računanje“. Uzmimo za primjer 10 ćelija u bilježnici. Precrtajte 9. kvadratić. Na lijevoj strani je 8 ćelija, na desnoj 1 ćelija. Dakle 9·9=81. Vrlo je jednostavno.

Množenje za broj 8 - 8·1, 8·2 ... 8·10 - radnje su slične množenju broja 9 uz neke promjene. Prvo, pošto je broj 8 već dva kraći od okruglog broja 10, moramo svaki put savijati dva prsta odjednom - sa brojem x i sledeći prst sa brojem x+1. Drugo, odmah nakon savijenih prstiju moramo saviti onoliko prstiju koliko je preostalih nesavijenih prstiju na lijevoj strani. Treće, ovo direktno funkcionira kod množenja brojem od 1 do 5, a kod množenja brojem od 6 do 10 potrebno je od broja x oduzeti pet i izvršiti proračun kao za broj od 1 do 5, a zatim odgovoru dodajte broj 40, jer ćete u suprotnom morati proći kroz deset, što nije baš zgodno "na prstima", iako u principu nije tako teško. Općenito, treba napomenuti da je množenje za brojeve ispod 9 nezgodnije izvoditi "na prstima", što se broj niži nalazi od 9.

Pogledajmo sada primjer množenja za broj 8. Recimo da želimo 8 pomnožiti sa 3. Prst sa brojem 3 savijamo i pratimo ga prstom sa brojem 4 (3+1). Na lijevoj strani imamo 2 nesavijena prsta, što znači da nakon prsta broj 4 trebamo saviti još 2 prsta (to će biti prsti pod brojevima 5, 6 i 7). Ostala su 2 prsta koja nisu savijena na lijevoj strani i 4 prsta na desnoj strani. Dakle, 8·3=24.

Drugi primjer: izračunaj 8·8=? Kao što je gore spomenuto, kada množite brojem od 6 do 10, morate oduzeti pet od broja x, izvršiti izračun s novim brojem x-5, a zatim dodati broj 40. Imamo x = 8 , što znači da savijamo prst sa brojem 3 (8-5=3) i sledeći prst sa brojem 4 (3+1). Na lijevoj strani dva prsta ostaju nesavijena, što znači da savijamo još dva prsta (brojevi 5,6). Dobijamo: na lijevoj strani 2 prsta nisu savijena, a na desnoj - 4 prsta, što znači broj 24. Ali ovom broju morate dodati i 40: 24+40=64. Kao rezultat, 8·8=64.

1.5. Ljudi su fenomen brzog brojanja.

Fenomen posebnih sposobnosti u mentalnom proračunu se susreće već duže vreme. Kao što znate, mnogi naučnici su ih posjedovali, posebno Andre Ampere i Carl Gauss. Međutim, sposobnost brzog brojanja bila je svojstvena i mnogim ljudima čija je profesija bila daleko od matematike i nauke općenito.

Sve do druge polovine 20. veka na sceni su bili popularni usmeni nastupi specijalista. Ponekad su između sebe organizovali izložbena takmičenja. Poznati ruski "supercounteri" su Aron Čikvašvili, Dejvid Goldštajn, Jurij Gornji, a strani Borislav Gajanski, Vilijam Klajn, Tomas Fuler i drugi.

Iako su jedni stručnjaci insistirali da se radi o urođenim sposobnostima, drugi su tvrdili suprotno: „ne samo i ne toliko u nekim izuzetnim „fenomenalnim“ sposobnostima, koliko u poznavanju određenih matematičkih zakona koji omogućavaju da se brzo napravi kalkulacije” i voljno otkrio ove zakone.

Istina se, kao i obično, pokazala na određenoj “zlatnoj sredini” kombinacije prirodnih sposobnosti i njihovog kompetentnog, vrijednog buđenja, uzgoja i korištenja. Oni koji se, slijedeći Trofima Lysenka, oslanjaju isključivo na volju i asertivnost, uz sve već poznate metode i tehnike mentalnog računanja, obično se, uz sav trud, ne izdižu iznad vrlo, vrlo prosječnih postignuća. Štoviše, uporni pokušaji da se mozak "pravilno optereti" aktivnostima kao što su mentalna aritmetika, šah s povezom na očima itd. može lako dovesti do prenaprezanja i primjetnog pada mentalnih performansi, pamćenja i dobrobiti (iu najtežim slučajevima, do šizofrenije). S druge strane, daroviti ljudi, kada neselektivno koriste svoje talente u oblasti kao što je mentalna aritmetika, brzo „izgore“ i prestanu da dugo i održivo pokazuju sjajna dostignuća. Jedan primjer uspješne kombinacije oba uslova (prirodnog talenta i puno kompetentnog rada na sebi) pokazao je naš sunarodnjak, rodom iz Altajske teritorije, Yuri Gorny.

Možda jedini naučno potkrijepljen i dovoljno detaljan sistem za oštro povećanje brzine mentalne aritmetike stvorio je tokom Drugog svjetskog rata ciriški profesor matematike J. Trachtenberg. Poznat je kao "Sistem brzog brojanja". Istorija njegovog nastanka je neobična. Godine 1941 Nacisti su bacili Trachtenberga u koncentracioni logor. Kako bi preživio u neljudskim uvjetima i održao svoju psihu normalnom, Trachtenberg je počeo razvijati principe ubrzanog brojanja. Tokom četiri strašne godine boravka u koncentracionom logoru, profesor je uspeo da stvori harmoničan sistem ubrzanog učenja dece i odraslih osnovama brzog računanja. Od samog početka rezultati su bili najzadovoljniji. Učenici su se radovali svojim novostečenim vještinama i sa entuzijazmom krenuli naprijed. Ako ih je prije odbijala monotonija, sada ih je privukla raznovrsnost tehnika. Korak po korak, zahvaljujući postignutom uspjehu, interesovanje za njihove studije je raslo. Nakon rata, Trachtenberg je osnovao i vodio Ciriški matematički institut, koji je stekao svjetsku slavu.

Na razvoju tehnika brzog brojanja radili su i drugi naučnici: Jakov Isidorovič Perelman, Georgij Berman i drugi.

Navest ću primjere množenja brojeva koji su dobili najveći opis u literaturi.

Poglavlje II.

2.1 Množenje sa 11 broja čiji zbir cifara ne prelazi 10.

Da biste pomnožili sa 11 broj čiji je zbir cifara 10 ili manji od 10, morate mentalno razdvojiti cifre ovog broja, staviti zbir ovih cifara između njih, a zatim dodati 1 prvoj cifri i ostaviti druga i posljednja (treća) cifra nepromijenjena.

27 x 11= 2 (2+7) 7 = 297;

62 x 11= 6 (6+2) 2 = 682.

2.2 Množenje sa 11 broja čiji je zbir cifara veći od 10.

Da biste pomnožili sa 11 broj čiji je zbir cifara 10 ili veći od 10, morate mentalno razdvojiti cifre ovog broja, staviti zbir ovih cifara između njih, a zatim dodati 1 prvoj cifri i ostaviti druga i posljednja (treća) cifra nepromijenjena.

86 x 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946.

2.3 Množenje sa jedanaest (prema Trachtenbergu).

Pogledajmo primjer: 633 pomnoženo sa 11.

Odgovor je napisan pod 633, jedna cifra s desna na lijevo, kako je navedeno u pravilima.

Prvo pravilo. Upišite posljednju cifru od 633 kao desnu cifru rezultata

633*11

Drugo pravilo. Svaka sljedeća znamenka broja 633 dodaje se njegovom desnom susjedu i upisuje u rezultat 3 + 3. Prije tri upisujemo rezultat 6.

633*11

Ponovo primijenimo pravilo: 6+3 je 9. Zapisujemo i ovaj broj kao rezultat:

633*11

Treće pravilo. Prva znamenka od 633, koja je 6, postaje lijeva znamenka rezultata:

633*11

6963

Odgovor: 6963.

2.4 Množenje sa 22,33,…,99

Da bi se dvocifreni broj pomnožio sa 22,33,..., 99, ovaj faktor se mora predstaviti kao proizvod jednocifrenog broja (od 2 do 9) sa 11, odnosno 33 = 3 x 11; 44 = 4 x 11, itd. Zatim pomnožite proizvod prvih brojeva sa 11.

primjeri:

18 x 44 = 18 x 4 x 11 = 72 x 11 = 792;

42 x 22 = 42 x 2 x 11 = 84 x 11 = 924;

13 x 55 = 13 x 5 x 11 = 65 x 11 = 715;

24 x 99 = 24 x 9 x 11 = 216 x 11 = 2376.

2.5 Množenje brojem 111, 1111 itd., Poznavajući pravila za množenje dvocifrenog broja brojem 11.

Ako je zbir cifara prvog faktora manji od 10, morate mentalno proširiti znamenke ovog broja za 2, 3 itd. korak, saberite brojeve i zapišite odgovarajući broj puta njihov zbir između raširenih brojeva. Broj koraka je uvijek manji od broja jedinica za 1.

primjer:

24x111=2(2+4) (2+4)4=2664 (broj koraka - 2)

24x1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (broj koraka - 3)

Kada množite broj 72 sa 111111, brojevi 7 i 2 se moraju razmaknuti za 5 koraka. Ove kalkulacije možete lako napraviti u svojoj glavi.

42 x 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662.(broj koraka - 5)

Ako ima 6 jedinica, bit će 1 korak manje, odnosno 5.

Ako ima 7 jedinica, onda će biti 6 koraka, itd.

Množenje dvocifrenog broja sa 111, 1111, 1111 itd., čiji je zbir cifara jednak ili veći od 10.

Malo je teže izvršiti mentalno množenje ako je zbir cifara prvog faktora 10 ili veći od 10.

primjeri:

86 x 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

U ovom slučaju, trebate dodati 1 na prvu cifru 8, dobijamo 9, zatim 4+1 = 5; a posljednje brojeve 4 i 6 ostavite nepromijenjene. Dobijamo odgovor 9546.

2.6. Množenje dvocifrenog broja sa 101, 1001 itd.

Možda najjednostavnije pravilo: dodijelite svoj broj sebi. Množenje je završeno. primjer:

32 x 101 = 3232; 47 x 101 = 4747;

324 x 1001 = 324.324; 675 x 1001 = 675,675;

6478 x 10001 = 64786478;

846932 x 1000001 = 846932846932.

2.7. Pomnožite sa 37

Prije nego naučite kako se verbalno množi sa 37, morate dobro znati znak djeljivosti i tablicu množenja sa 3. Da biste verbalno pomnožili broj sa 37, trebate ovaj broj podijeliti sa 3 i pomnožiti sa 111.

primjeri:

24 x 37 = (24:3) x 37 x 3 = 8 x 111 = 888;

18 x 37 = (18:3) x 111 = 6 x 111 = 666.

2.8. Algoritam za množenje dvocifrenih brojeva blizu 100

Na primjer: 98 x 97 = 9506

Ovdje koristim sljedeći algoritam: ako želite pomnožiti dva

dvocifreni brojevi blizu 100, a zatim uradite ovo:

1) pronaći nedostatke faktora do sto;

2) od jednog faktora oduzeti nedostatak drugog do sto;

3) rezultatu proizvoda nedostataka dodati dvije cifre

faktori do stotine.

2.9. Množenje trocifrenog broja sa 999.

Zanimljiva karakteristika broja 999 pojavljuje se kada se s njim pomnoži bilo koji drugi trocifreni broj. Tada se dobije šestocifreni umnožak: prve tri cifre su broj koji se množi, samo se smanjuje za jedan, a preostale tri cifre (osim posljednje) su "komplementi" prvih do 9. Na primjer:

385 * 999 = 384615

573 * 999 = 572427 943 * 999 = 942057

2.10. Množenje sa šest (prema Trachtenbergu)

Svakom broju morate dodati polovinu "susjeda".

Primjer: 0622084 * 6

0622084 * 6 4 je desna cifra ovog broja i, pošto nema 4 kao „komšiju“, nema se šta dodati.

06222084 * 6 Druga cifra je 8, a "komšija" je 4. Uzimamo 8 04, dodamo polovinu od 4 (2) i dobijemo 10, pišemo nulu, nosimo 1.

06222084 * 6 Sljedeća znamenka je nula. Mi dodajemo tome

504 polovina "komšije" 8 (4), odnosno 0 + 4 = 4 plus

transfer (1).

Preostali brojevi su slični.

Odgovor: 06222084 * 6

3732504

Pravilo množenja sa 6: da li je "susjed" paran ili neparan ne igra nikakvu ulogu. Gledamo samo sam broj: ako je paran, dodajemo mu cijeli dio polovine "susjeda" ako je neparan, onda pored polovine "susjeda" dodajemo još 5.

Primjer: 0443052 * 6

0443052 * 6 2 - ravnomjeran i nema "komšije", napišimo to ispod

0443052 * 6 5 - nepar: 5+5 i plus polovina "komšija" 2 (1)

12 će biti 11. Napišite 1 i nosite 1

0443052 * 6 polovina od 5 će biti 2, a dodajte nosivost 1, onda će biti 3

0443052 * 6 3 - neparan, 3 + 5 = 8

8312

0443052 * 6 4 + polovina od 3 (1) bit će 5

58312

0443052 * 6 4 + polovina od 4 (2) bit će 6

658312

0443052 * 6 nula + polovina od 4 (2) bit će 2

2658312 Odgovor: 2658312.

Zaključci:

Trachtenbergov sistem brzog brojanja zasniva se na principima množenja brojeva. Za množenje sa 11, 12, 6 itd. morate znati algoritam izvršenja. To čini sistem nezgodnim, morate zapamtiti mnoga pravila brzog brojanja, ali Trachtenbergov sistem pokazuje koliko je matematika lijepa ako osoba otkrije tajne njenih obrazaca, proučava ih i nauči ih primijeniti u praksi.

Nalazi istraživanja

Kao što vidimo, brzo brojanje više nije zapečaćena tajna, već naučno razvijen sistem. Pošto postoji sistem, to znači da se može proučavati, može se pratiti, njime se može savladati.

Sve metode usmenog množenja koje sam razmatrao ukazuju na dugogodišnji interes naučnika i običnih ljudi za igranje brojeva.

Koristeći neke od ovih metoda u učionici ili kod kuće, možete razviti brzinu računanja, usaditi interesovanje za matematiku i postići uspjeh u učenju svih školskih predmeta.

Spisak korišćene literature

1. “Usmeno računanje - mentalna gimnastika” G.A

2. “Algoritmi za ubrzane proračune” L.V. Biktasheva

3. "Usmeno brojanje". E.L.Strunnikov

4. „Matematička kutija“ F.F.Nagibin E.S

5. “Svijet brojeva” G.I. Zubelevich V.I.Efimov

6. “Zadaci za matematički krug” E.G

7. „Razvoj računarske kulture učenika“ NL. Melnikova

8. Biblioteka "Prvi septembar"

Zaboravili ste novac kod kuće i kolega je ljubazno pristao da vas časti ručkom. U povratku ste svratili u trgovinu na užinu, a tamo su najavili super promociju vaših omiljenih čokolada. Niste mogli odoljeti i uzeli ste 5 komada. Bili ste toliko zauzeti kupovinom da ste zaboravili na pametni telefon i niste izračunali koliko ste završili zahvaljujući kolegi. Situacija nije lijepa. Bilo bi mnogo lakše sastaviti sve u svom umu odjednom. Ali...kome ovo treba kad svaki telefon već dugo ima kalkulator!

Brojanje u glavi može biti jednako brzo kao i na kalkulatoru. Pogotovo kada su u pitanju svakodnevni problemi. Glavna stvar je savladati tehnike brzog brojanja i povremeno ih vježbati. U materijalu predstavljamo najjednostavnije od njih.

Rastavljanje zadatka na dijelove

Čak se i najsloženiji aritmetički problemi mogu podijeliti na jednostavne.

Primjer: kako izračunati popust od 15% ako je poznata puna cijena proizvoda?

U ovom slučaju, ima smisla razbiti 15 na 10% i 5%. Oduzeti 10% je prilično lako, ali 5% je polovina od 10%.

Pretpostavimo da imamo proizvod za 900 rubalja, 10% od toga je 90 rubalja, 5% je 45. Zbiramo: 90 + 45 = 135. Konačni trošak proizvoda sa popustom od 15%: 900 - 135 = 765 rubalja .

Zaokružiti na najbliži cijeli broj

Ova tehnika uključuje upotrebu komplementa - broja koji popunjava prazninu između datog broja i broja koji se obično završava na 00.

Na primjer, komplementarni broj za 87 bi bio 13, jer oni zbrajaju 100.

Primjer 1234 - 678 izgleda komplikovano. Zaokružimo 678 na 700. Izračunavanje 1234 - 700 će biti mnogo lakše, rezultat je 534.

Pošto smo oduzeli preveliki broj, rezultatu trebamo vratiti iznos koji nedostaje: 700 - 678 = 22, dodati 22 na 534 i dobiti konačni rezultat 556.

Pomnožite sa 11

Znamo kako je lako pomnožiti bilo koji jednocifreni broj sa 11: samo ga ponovite dvaput i gotovi ste!

Ali malo ljudi ima vještinu množenja dvocifrenih, pa čak i trocifrenih brojeva sa 11.

Da biste dvocifren broj pomnožili sa 11, trebate raširiti njegove znamenke u različitim smjerovima i upisati njihov zbir u sredinu. Ako je zbroj veći od 10, onda drugu cifru rezultirajućeg broja ostavljamo u sredini, a prvoj znamenki dodajemo deset, odnosno jedan.

Primjer 1: 36×11 = 3 (3+6) 6 = 396

Primjer 2: 57×11 = 5 (5+7) 7 = 627

Za množenje trocifrenih brojeva:

• Prvu i posljednju cifru broja ostavite nepromijenjene.
• Dodajte pretposljednju cifru na posljednju i zapišite rezultat. Ako je veći od 10, zapamtite jedinicu.
• Dodajte drugi broj prvom broju i zapišite rezultat. Ako je ostao još jedan od prethodnog dodatka, dodajte ga rezultatu.
• Ako je posljednjim sabiranjem ostala jedinica, dodajte je prvoj znamenki originalnog broja.

Primjer 3: 869×11

1. Pamtimo 9 kao privremeni rezultat. Rezultat: 8...9.
2. Sabiramo 6 i 9, dobijamo 15. Zapisujemo 5 prije 9, 1 - sjećamo se. Rezultat: 8...59 (1 na umu).
3. Zbrajamo 8 i 6, dobijemo 14, dodamo 1 iz prethodnog rezultata. Rezultat: 8559 (1 na umu).
4. Dodamo jedan iz prethodnog rezultata na 8. Rezultat: 9559.

Množenje brojeva od 11 do 19

Takve brojeve možete pomnožiti koristeći sljedeći algoritam:

• Bilo koji broj iz raspona od 11 do 19 predstavljamo kao desetice i jedinice.
• Dobijamo formulu: (10+a)×(10+b).
• Otvorite zagrade: 100+10×b+10×a+a×b.
• Izvadimo zajednički faktor iz zagrada i dobijemo konačnu formulu po kojoj možemo izračunati i koju ima smisla zapamtiti: 100+10×(a+b)+a×b.

Primjer: 13x17

1. Dodajmo jedinice - 3+7=10.
2. Pomnožimo rezultat sa 10: 10×10 = 100.
3. Dodajmo 100: 100+100=200.
4. Pomnožimo jedinice: 3×7 = 21.
5. Dodajmo rezultatu iz koraka 3: 200+21 = 221.

Mentalna aritmetika

Možete naučiti računati u svojoj glavi savladavanjem tehnika mentalne aritmetike. Prvo naučite kako izvoditi aritmetičke operacije na japanskom abakusu - sorobanu. Zatim vježbate da pravite iste proračune pomicanjem domina u svom umu. O tome smo već pisali detaljnije. Kursevi mentalne aritmetike pomoći će vam da u potpunosti savladate tehniku!

Proces mentalnog brojanja može se smatrati tehnologijom brojanja koja kombinuje ljudske ideje i vještine o brojevima i matematičkim aritmetičkim algoritmima.

Postoje tri vrste tehnologije mentalnog brojanja, koji koriste različite fizičke sposobnosti osobe:

audiomotorna tehnologija brojanja;

tehnologija vizuelnog brojanja.

Karakteristična karakteristika audiomotorno mentalno brojanje je popratiti svaku radnju i svaki broj verbalnom frazom poput "dvaput dva je četiri". Tradicionalni sistem brojanja je upravo audiomotorna tehnologija. Nedostaci audiomotorne metode proračuna su:

odsustvo odnosa u memorisanoj frazi sa susjednim rezultatima,

nemogućnost odvajanja desetica i jedinica proizvoda u frazama o tablici množenja bez ponavljanja cijele fraze;

nemogućnost preokretanja fraze sa odgovora na faktore, što je važno za izvođenje dijeljenja s ostatkom;

spora brzina reprodukcije verbalne fraze.

Superračunari, pokazujući veliku brzinu razmišljanja, koriste svoje vizualne sposobnosti i odličnu vizualnu memoriju. Ljudi koji su dobri u brzim proračunima ne koriste riječi kada rješavaju aritmetički primjer u svojoj glavi. Oni demonstriraju stvarnost vizuelna tehnologija mentalnog brojanja, lišen glavnog nedostatka - spore brzine izvođenja osnovnih operacija s brojevima.

Možda naše metode množenja nisu savršene; Možda će se izmisliti još brži i pouzdaniji.

Naravno, nemoguće je poznavati sve metode brzog brojanja, ali one najpristupačnije se mogu proučavati i primijeniti.

Trening mentalnog brojanja.

Postoje ljudi koji u svojim glavama mogu izvoditi jednostavne aritmetičke operacije. Pomnožite dvocifreni broj jednocifrenim, pomnožite unutar 20, pomnožite dva mala dvocifrena broja, itd. - sve ove radnje mogu izvoditi u mislima i to prilično brzo, brže od prosječne osobe. Često se ova vještina opravdava potrebom za stalnom praktičnom upotrebom. Obično ljudi koji su dobri u mentalnoj aritmetici imaju pozadinu u matematici ili barem imaju iskustvo u rješavanju brojnih aritmetičkih problema.

Nesumnjivo, iskustvo i obuka igraju vitalnu ulogu u razvoju svake sposobnosti. Ali vještina mentalnog proračuna ne oslanja se samo na iskustvo. To dokazuju ljudi koji su, za razliku od gore opisanih, u stanju u mislima prebrojati mnogo složenije primjere. Na primjer, takvi ljudi mogu množiti i dijeliti trocifrene brojeve, izvoditi složene aritmetičke operacije koje ne može svaka osoba brojati u stupcu.

Šta običan čovjek treba da zna i umije da bi savladao tako fenomenalnu sposobnost? Danas postoje različite tehnike koje vam pomažu da naučite kako brzo brojati u svojoj glavi. Proučavajući mnoge pristupe podučavanju vještine usmenog brojanja, možemo istaknuti3 glavne komponente ove vještine:

1. Sposobnosti. Sposobnost koncentracije i sposobnost držanja nekoliko stvari u kratkoročnoj memoriji istovremeno. Predispozicija za matematiku i logičko razmišljanje.

2. Algoritmi. Poznavanje posebnih algoritama i sposobnost brzog odabira potrebnog, najefikasnijeg algoritma u svakoj konkretnoj situaciji.

3. Obuka i iskustvo, čija važnost za bilo koju vještinu nije poništena. Stalni trening i postupno usložnjavanje riješenih problema i vježbi omogućit će vam da poboljšate brzinu i kvalitetu mentalnog računanja.

Treba napomenuti da je treći faktor od ključnog značaja. Bez potrebnog iskustva, nećete moći iznenaditi druge brzim rezultatom, čak i ako znate najpogodniji algoritam. Međutim, nemojte podcijeniti važnost prve dvije komponente, jer imate u svom arsenalu sposobnosti i skup potrebnih algoritama, možete "nadmašiti" čak i najiskusnijeg "računovođu", pod uslovom da ste obučeni za istu količinu vrijeme.

Nekoliko načina mentalnog brojanja:

1. Pomnožite sa 5 Prikladnije je učiniti ovo: prvo pomnožite sa 10, a zatim podijelite sa 2

2. Pomnožite sa 9. Da biste pomnožili broj sa 9, potrebno je da množitelju dodate 0 i od dobijenog broja oduzmete množenik, na primjer 45 9 = 450-45 = 405.

3. Pomnožite sa 10. Dodajte nulu desno: 48 10 = 480

4. Pomnožite sa 11. dvocifreni broj. Raširite brojeve N i A, unesite iznos u sredinu (N+A).

na primjer, 43 11 = = = 473.

5. Pomnožite sa 12. se radi otprilike na isti način kao za 11. Udvostručimo svaku cifru broja i rezultatu dodamo susjeda originalne cifre s desne strane.

Primjeri.Hajde da se množimoon.

Počnimo s krajnjim desnim brojem - ovo je. Hajde da ga udvostručimoi dodajte komšiju (on u ovom slučaju nije prisutan). Dobili smo. Hajde da to zapišemoi zapamti.

Idemo lijevo na sljedeći broj. Hajde da ga udvostručimo, dobijamo, dodaj komšiju,, dobijamo, dodaj. Hajde da to zapišemoi zapamti.

Idemo lijevo na sljedeći broj,. Hajde da ga udvostručimo, dobijamo. Dodajmo komšijui dobijamo. Hajde da dodamo, koje smo zapamtili, dobijamo. Hajde da to zapišemoi zapamti.

Pomaknimo se lijevo na nepostojeći broj - nulu. Hajde da ga udvostručimo, dobijemo i dodamo komšiju, što će nam dati . Na kraju, dodamo , kojeg smo zapamtili, i dobijemo . Hajde da to zapišemo. Odgovor: .

6. Množenje i dijeljenje sa 5, 50, 500, itd.

Množenje sa 5, 50, 500 itd. zamjenjuje se množenjem sa 10, 100, 1000, itd., nakon čega slijedi dijeljenje sa 2 rezultirajućeg proizvoda (ili dijeljenje sa 2 i množenje sa 10, 100, 1000, itd.) . (50 = 100: 2, itd.)

54 5=(54 10):2=540:2=270 (54 5 = (54:2) 10= 270).

Da biste broj podijelili sa 5,50, 500, itd., trebate ovaj broj podijeliti sa 10,100,1000, itd. i pomnožiti sa 2.

10800: 50 = 10800:100 2 =216

10800: 50 = 10800 2:100 =216

7. Množenje i dijeljenje sa 25, 250, 2500 itd.

Množenje sa 25, 250, 2500 itd. zamjenjuje se množenjem sa 100, 1000, 10000, itd., a rezultat se dijeli sa 4. (25 = 100: 4)

542 25=(542 100):4=13550 (248 25=248: 4 100 = 6200)

(ako je broj djeljiv sa 4, tada za množenje nije potrebno vrijeme; to može učiniti svaki učenik).

Da biste broj podijelili sa 25, 25,250,2500, itd., ovaj broj se mora podijeliti sa 100,1000,10000, itd. i pomnožite sa 4: 31200: 25 = 31200:100 4 = 1248.

8. Množenje i dijeljenje sa 125, 1250, 12500 itd.

Množenje sa 125, 1250 itd. zamjenjuje se množenjem sa 1000, 10000 itd., a rezultirajući proizvod se mora podijeliti sa 8. (125 = 1000 : 8)

72 125=72 1000: 8=9000

Ako je broj djeljiv sa 8, onda prvo podijelite sa 8, a zatim pomnožite sa 1000, 10000 itd.

48 125 = 48: 8 1000 = 6000

Da biste broj podijelili sa 125, 1250 itd., ovaj broj trebate podijeliti sa 1000, 10000 itd. i pomnožiti sa 8.

7000: 125 = 7000: 10008 = 56.

9. Množenje i dijeljenje sa 75, 750 itd.

Da biste pomnožili broj sa 75, 750, itd., trebate ovaj broj podijeliti sa 4 i pomnožiti sa 300, 3000 itd. (75 = 300:4)

4875 = 48:4300 = 3600

Da biste broj podijelili sa 75,750, itd., trebate ovaj broj podijeliti sa 300, 3000, itd. i pomnožite sa 4

7200: 75 = 7200: 3004 = 96.

10. Pomnožite sa 15, 150.

Prilikom množenja sa 15, ako je broj neparan, pomnožite ga sa 10 i dodajte polovinu rezultirajućeg proizvoda:

23 15=23 (10+5)=230+115=345;

ako je broj paran, nastavljamo još jednostavnije - dodamo polovicu broju i rezultat pomnožimo sa 10:

18 15=(18+9) 10=27 10=270.

Kada množimo broj sa 150, koristimo istu tehniku ​​i rezultat množimo sa 10, jer je 150 = 15 10:

24 150=((24+12) 10) 10=(36 10) 10=3600.

Na isti način, brzo pomnožite dvocifreni broj (posebno paran) sa dvocifrenim brojem koji završava na 5:

24 35 = 24 (30 +5) = 24 30+24:2 10 = 720+120=840.

11. Množenje dvocifrenih brojeva manjih od 20.

Jednom od brojeva morate dodati broj jedinica drugog, pomnožite ovaj iznos sa 10 i dodajte mu proizvod jedinica ovih brojeva:

18 16=(18+6) 10+8 6= 240+48=288.

Koristeći opisanu metodu, možete množiti dvocifrene brojeve manje od 20, kao i brojeve koji imaju isti broj desetica: 23 24 = (23+4) 20+4 6=27 20+12=540+12= 562.

Objašnjenje:

(10+a) (10+b) = 100 + 10a + 10b + a b = 10 (10+a+b) + a b = 10 ((10+a)+b) + a b .

12. Množenje dvocifrenog broja sa 101 .

Možda najjednostavnije pravilo: dodijelite svoj broj sebi. Množenje je završeno.
Primer: 57 101 = 5757 57 --> 5757

Objašnjenje: (10a+b) 101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
Slično, trocifreni brojevi se množe sa 1001, četvorocifreni sa 10001, itd.

13. Množenje sa 22, 33, ..., 99.

Da biste pomnožili dvocifreni broj 22,33, ...,99, ovaj faktor morate predstaviti kao proizvod jednocifrenog broja sa 11. Pomnožite prvo sa jednocifrenim brojem, a zatim sa 11:

15 33= 15 3 11=45 11=495.

14. Množenje dvocifrenih brojeva sa 111 .

Prvo, uzmimo kao množenik dvocifreni broj čiji je zbir cifara manji od 10. Objasnimo na numeričkim primjerima:

Pošto je 111=100+10+1, onda je 45 111=45 (100+10+1). Prilikom množenja dvocifrenog broja čiji je zbir cifara manji od 10, sa 111, potrebno je ubaciti dvostruki zbir cifara (tj. brojeva koje oni predstavljaju) njegovih desetica i jedinica 4+ 5=9 u sredinu između cifara. 4500+450+45=4995. Dakle, 45,111=4995. Kada je zbir cifara dvocifrenog množenika veći ili jednak 10, na primjer 68 11, potrebno je sabrati znamenke množenika (6+8) i u sredinu umetnuti 2 jedinice rezultirajućeg zbroja između brojeva 6 i 8. Na kraju, sastavljenom broju 6448 dodajte 1100. Dakle, 68 111 = 7548.

15. Kvadratni brojevi koji se sastoje od samo 1.

11 x 11 =121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 =123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Neke nestandardne tehnike množenja.

Množenje broja jednocifrenim faktorom.

Da biste usmeno pomnožili broj jednocifrenim faktorom (na primjer, 34 9), morate izvršiti radnje počevši od najviše cifre, uzastopno zbrajajući rezultate (30 9=270, 4 9=36, 270+36=306).

Za efikasno mentalno brojanje, korisno je znati tablicu množenja do 19*9. U ovom slučaju, množenje je 147 8 se u umu izvodi ovako: 147 8=140 8+7 8= 1120 + 56= 1176 . Međutim, bez poznavanja tablice množenja do 19 9, u praksi je zgodnije sve takve primjere izračunati smanjenjem množitelja na osnovni broj: 147 8=(150-3) 8=150 8-3 8=1200-24=1176, sa 150 8=(150 2) 4=300 4=1200.

Ako se jedan od pomnoženih stavki razloži na jednocifrene faktore, zgodno je izvršiti radnju uzastopnim množenjem ovim faktorima, na primjer, 225 6=225 2 3=450 3=1350. Također, možda će biti lakše koristiti 225 6=(200+25) 6=200 6+25 6=1200+150=1350.

Množenje dvocifrenih brojeva.

1. Pomnožite sa 37.

Prilikom množenja broja sa 37, ako je dati broj višekratnik broja 3, dijeli se sa 3 i množi sa 111.

27 37=(27:3) (37 3)=9 111=999

Ako dati broj nije višekratnik od 3, tada se od proizvoda oduzima 37 ili se proizvodu dodaje 37.

23 37=(24-1) 37=(24:3) (37 3)-37=888-37=851.

Lako je zapamtiti proizvod nekih od njih:

3 x 37 = 111 33 x 3367 = 111111

6 x 37 = 222 66 x 3367 = 222222

9 x 37 = 333 99 x 3367 = 333333

12 x 37 = 444 132 x 3367 = 444444

15 x 37 = 555 165 x 3367 = 555555

18 x 37 = 666 198 x 3367 = 666666

21 x 37 = 777 231 x 3367 = 777777

24 x 37 = 888 264 x 3367 = 888888

27 x 37 = 999 297 x 3367 = 99999

2. Ako desetine dvocifrenih brojeva počinju istom cifrom, a zbir jedinica je 10 , tada kada ih množimo nalazimo proizvod ovim redoslijedom:

1) pomnožiti deseticu prvog broja sa deseticom drugog većeg broja sa jedan;

2) pomnožite jedinice:

8 3x 8 7= 7221 ( 8x9=72 , 3x7=21)

5 6x 5 4=3024 ( 5x6=30 , 6x4=24)

1. Algoritam za množenje dvocifrenih brojeva blizu 100

na primjer:97 x 96 = 9312

Ovdje koristim sljedeći algoritam: ako želite pomnožiti dva

dvocifreni brojevi blizu 100, a zatim uradite ovo:

1) pronaći nedostatke faktora do sto;

2) od jednog faktora oduzeti nedostatak drugog do sto;

3) rezultatu proizvoda nedostataka dodati dvije cifre

faktori do stotine.

Relevantna literatura spominje takve metode množenja kao što su "preklapanje", "rešetka", "pozadi naprijed", "dijamant", "trokut" i mnoge druge. Želeo sam da znam koje druge nestandardne tehnike množenja postoje u matematici? Ispostavilo se da ih ima mnogo. Evo nekih od ovih tehnika.

Seljački metod:

Jedan od množitelja se udvostručuje, dok se drugi istovremeno smanjuje za isti iznos. Kada količnik postane jednak jedan, proizvod dobijen paralelno je željeni odgovor.

Ako se pokaže da je količnik neparan broj, tada se iz njega uklanja jedan, a ostatak se dijeli. Zatim se dobijenom odgovoru dodaju proizvodi koji su stajali nasuprot neparnih količnika

"Metoda krsta"

U ovoj metodi faktori se pišu jedan ispod drugog i njihove cifre se množe pravolinijski i poprečno.

3 1 = 3 – zadnja cifra.

2 1 + 3 3 = 11. Pretposljednja cifra je 1, još jedna 1 u mislima.

2 3 = 6; 6 + 1 = 7 je prva znamenka proizvoda

Potreban rad je 713.

Kinesko-japanska metoda množenja.

Nije tajna da su nastavne metode različite u različitim zemljama. Ispostavilo se da u Japanu učenici prvog razreda mogu da množe trocifrene brojeve bez poznavanja tablice množenja. Za to se koristi. Logika metode je jasna sa slike. Nakon crtanja, samo trebate izbrojati broj raskrsnica u svakoj oblasti.

Ova metoda se može koristiti za množenje parnih trocifrenih brojeva. Vjerovatno će, kada djeca kasnije nauče tablicu množenja, moći da množe na jednostavniji i brži način, po stupcima. Štoviše, gornja metoda je previše radno intenzivna kada se množe brojevi poput 89 i 98, jer morate nacrtati 34 pruge i prebrojati sva sjecišta. S druge strane, u takvim slučajevima možete koristiti kalkulator. Mnogi će pomisliti da je ova metoda japanskog ili kineskog množenja previše komplicirana i zbunjujuća, ali to je samo na prvi pogled. Vizuelnu podršku nam daje vizualizacija, odnosno slika svih tačaka preseka pravih (faktora) na jednoj ravni, dok tradicionalni način množenja podrazumeva veliki broj aritmetičkih operacija samo u umu. Kinesko ili japansko množenje ne samo da vam pomaže da brzo i efikasno množite dvocifrene i trocifrene brojeve bez kalkulatora, već i razvija erudiciju. Slažem se, ne mogu se svi pohvaliti da u praksi poznaju drevnu kinesku metodu množenja (), koja je relevantna i odlično funkcionira u modernom svijetu.

Množenje se može obaviti pomoću matrične tablice ts :

43219876=?

Prvo pišemo proizvode brojeva.
2. Pronađite zbrojeve duž dijagonale:
36, 59, 70, 70, 40, 19, 6
3. Dobijamo odgovor s kraja dodavanjem "dodatnih" cifara na početnu znamenku:2674196

Rešetkasta metoda.

Nacrtan je pravougaonik, podijeljen na kvadrate. Sljedeće su kvadratne ćelije, podijeljene dijagonalno. U svaki red ćemo upisati proizvod brojeva iznad ove ćelije i desno od nje, dok ćemo cifru proizvoda desetice upisati iznad kose crte, a cifru jedinice ispod nje. Sada dodajemo brojeve u svaku kosu traku, izvodeći ovu operaciju, s desna na lijevo. Ako se pokaže da je veći od 10, tada pišemo samo cifru jedinice zbroja, a sljedećem zbroju dodajemo cifru desetice.

6

5

2

4

1 7

3

7

7

Brojeve odgovora pišemo s lijeva na desno: 4, 5, 17, 20, 7, 5. Počevši s desna, pišemo, dodajući "dodatne" brojeve "susjedu": 469075.

Primljeno: 725 x 647 = 469075.

Mnogi roditelji vjerovatno sanjaju da će njihova beba odrasti posebno i sigurno postati nešto na što mogu biti ponosni. Ali ako se neki očevi i majke hvale samo sposobnostima svoje djece, drugi ih odvode u specijalne škole koje pomažu u razvoju sklonosti datih od prirode.

Da li je moguće odgajati dete da bude genije? Ako je u ranijim vremenima odgovor na takvo pitanje bio nedvosmislen i zahtijevao je talenat i nevjerojatne sposobnosti, danas je zadatak postao mnogo jednostavniji. Na primjer, kako bi dijete pokazalo izvanredno znanje iz matematike i računalo brzo i ispravno kao kalkulator, nudi se neobičan program koji će dijete naučiti matematici. I to se zove "mentalna aritmetika". Šta je ovo program i koje prednosti ima?

Popularnost tehnike

Od 1993. mentalna aritmetika se koristi za podučavanje djece u 52 zemlje, od Kanade do Velike Britanije. Neki od njih preporučuju tehniku ​​za uključivanje u školski program.

Mentalna aritmetika je najrasprostranjenija u zemljama Bliskog istoka, kao i u Kini, Australiji, Tajlandu, Austriji, SAD-u i Kanadi. Specijalizovane organizacije počinju da se pojavljuju u Kazahstanu, Kirgistanu i Rusiji.

Mentalna aritmetika je jedna od najmlađih i najbrže rastućih metoda koje se koriste u obrazovanju djece. Zahvaljujući ovoj tehnici lako možete razviti djetetove mentalne sposobnosti, koje su prvenstveno matematički orijentirane. Zahvaljujući djeci koja ovladaju tehnikom mentalnog računanja, svaki matematički problem za njih se pretvara u jednostavan i brz računski proces.

Istorija porekla

Metoda mentalnog proračuna ima drevne korijene. I to uprkos činjenici da ga je relativno nedavno razvio naučnik iz Turske Halit Shen. Šta je koristio za svoj mentalni sistem brojanja? Abacus, koji je stvoren u Kini prije 5 hiljada godina. Ovaj predmet predstavlja abakus, koji je dao ogroman doprinos razvoju cjelokupne svjetske aritmetike. Nakon svog izuma, abakus je počeo da se postepeno širi po cijelom svijetu. U 16. veku dolazi iz Kine u Japan. Četiri stotine godina stanovnici Zemlje izlazećeg sunca ne samo da su uspješno koristili takve abakuse, već su i pažljivo radili na njima, pokušavajući poboljšati objekt tako potreban za izvođenje aritmetičkih operacija. I uspjeli su. Japanci su kreirali soroban abakus, koji se i danas koristi za podučavanje djece u osnovnoj školi.

Tokom istorije ljudskog razvoja, matematička nauka je bila unapređena. I danas nam može ponuditi ogroman broj svojih dostignuća. Ali uprkos tome, naučnici veruju da je upotreba abakusa korisnija u učenju dece tačnom brojanju.

Prednosti mentalne aritmetike

Vjeruje se da je svaka od hemisfera ljudskog mozga odgovorna za svoje smjerove. Dakle, pravi vam omogućava da razvijete kreativnost, maštovitu percepciju i razmišljanje. Ljevica je odgovorna za logičko razmišljanje.

Aktivnost hemisfera se aktivira u trenutku kada osoba počne raditi rukama. Ako je desna aktivna, tada počinje raditi lijeva hemisfera. I obrnuto. Osoba koja radi lijevom rukom pomaže da se aktivira rad desne hemisfere.

Cilj menare je prisiliti cijeli mozak da učestvuje u obrazovnom procesu. Kako postići ovakve rezultate? To je moguće obavljanjem matematičkih operacija na abakusu s obje ruke. U konačnici, menard doprinosi razvoju brzog brojanja, kao i razvoju i poboljšanju analitičkih vještina.

Naučnici su uporedili kalkulator sa abakusom i došli do jasnog zaključka da prvi od njih opušta moždanu aktivnost. Abakus, naprotiv, izoštrava i trenira hemisfere.

Kada treba početi učiti mentalnu aritmetiku? Recenzije pristalica ove tehnike tvrde da je ovu metodu najbolje savladati u dobi od četiri do dvanaest godina. I samo u nekim slučajevima rok se može produžiti za još četiri godine. Ovo je vrijeme kada dolazi do brzog razvoja mozga. A ova činjenica je divna poruka da se djetetu usađuju osnovne vještine, uče strani jeziki, razvijaju razmišljanja, savladaju svirci muzičkih instrumenata i borilačke vještine.

Suština mentalne tehnike

Čitav program za savladavanje mentalne aritmetike izgrađen je na uzastopnom prolasku dvije etape. Na prvom od njih se upoznaje i savladava tehnika izvođenja računskih operacija pomoću kostiju, pri čemu se istovremeno koriste dvije ruke. Zahvaljujući tome, i lijeva i desna hemisfera su uključene u proces. Ovo vam omogućava da postignete najbrže moguće učenje i izvršenje aritmetičkih operacija. Dijete u svom radu koristi abakus. Ovaj predmet mu omogućava da potpuno slobodno oduzima i množi, sabira i dijeli i izračunava kvadratne i kubne korijene.

Tokom druge faze, učenici uče mentalno brojanje, koje se obavlja u umu. Dete prestaje da se stalno vezuje za abakus, što takođe podstiče njegovu maštu. Lijeva hemisfera djece percipira brojeve, a desna hemisfere percipiraju sliku domina. To je ono na čemu se zasniva tehnika mentalnog brojanja. Mozak počinje da radi sa imaginarnim abakusom, dok percipira brojeve u obliku slika. Izvođenje matematičkih proračuna povezano je s kretanjem kostiju.

Učenje brze mentalne aritmetike je vrlo zanimljiv i uzbudljiv proces. Cijene ga stotine hiljada ljudi i dobio je ogroman broj pozitivnih kritika.

Abacus

Šta je to tajanstvena i drevna mašina za sabiranje? Abakus, ili mentalni abakus, veoma podsjeća na stare sovjetske "zglobove". Princip rada na ova dva uređaja je također vrlo sličan. Koja je razlika između ovih računa? Leži u broju zglobova koji se nalaze na iglama za pletenje i u jednostavnosti upotrebe.

Vrijedi reći da će za postizanje rezultata abakus zahtijevati više pokreta rukama. Kako funkcionira ovaj drevni predmet koji nam je došao iz Kine? To je okvir u koji su ubačene igle za pletenje. Štaviše, njihov broj može biti različit. Na iglama za pletenje ima pet komada nanizanih zglobova.

Dužina svakog kraka je prekrivena pregradnom trakom. Iznad nje nalazi se jedna domino, a ispod nje četiri.

Tehnika mentalnog brojanja uključuje određeni pokret prstiju osobe. Od toga se koriste samo indeks i palac. Svi pokreti moraju biti dovedeni do automatizma, što je olakšano njihovim ponovnim ponavljanjem.

Zanimljivo je da se ova vještina lako može izgubiti. Zato, kada savladate tehniku, ne biste trebali preskakati nastavu.

Raspored brojeva

Koje su osnove brojanja u mentalnoj aritmetici? Da biste savladali ovu tehniku, morate znati kako se nalaze brojevne prave na abakusu. Na njegovoj desnoj strani se nalaze. Nakon toga su desetine, pa stotine, pa hiljade, desetine hiljada i tako dalje. Svako od ovih pražnjenja nalazi se na posebnom kraku.

Domine koje se nalaze ispod prečke su „1“, a one iznad nje su „5“. Na primjer, da biste birali broj 3 na abakusu, morat ćete odvojiti tri domine koje se nalaze ispod prečke za pletenje na igli za pletenje koja se nalazi desno od ostalih. Razmotrimo primjer sa dvostrukim brojevima, na primjer, 15. Da biste ga birali na abakusu, trebate podići jednu domino na igli desetica i spustiti onu koja se nalazi iznad gornje trake na igli jedinica.

Operacije sabiranja

Kako naučiti mentalnu aritmetiku? Da biste to učinili, morat ćete proučiti kako se aritmetičke operacije izvode na abakusu. Razmotrite, na primjer, dodavanje. Da vidimo koliko će biti jednak zbroj brojeva 22 i 13. Prvo ćete morati staviti dvije domine na igle za pletenje desetica i jedinica koje se nalaze na dnu prečke. Zatim, dodajmo još jedan na dva tuceta. Rezultat je 30. Sada počnimo sa dodavanjem jedinica. Dodajmo još tri na dva. Rezultat je broj "pet", koji je označen zglobom na vrhu prečke. Rezultat je 35. Da biste savladali složenije operacije, morat ćete pažljivo proučiti posebnu literaturu. Nakon savladavanja najjednostavnijih primjera, preporučuje se vježbanje na abakusu. Na taj način učenje postaje što je moguće zanimljivije.

Savladavanje druge faze

Nakon što operacije na abakusu ne uzrokuju nikakve poteškoće, možete početi usmeno izvoditi mentalnu aritmetiku. Ovo je sljedeći nivo učenja. Uključuje mentalno brojanje, to jest, urađeno u umu. Da biste to učinili, morat ćete napraviti sliku abakusa za svoje dijete. Najjednostavnija opcija je da odštampate sliku ovog predmeta, koju zatim zalijepite na karton (možete uzeti iz kutije za cipele). Ako je moguće, slika treba da bude u boji. To će djetetu olakšati da to zamisli u svojoj mašti.

Da biste izbjegli greške, vrijedi zapamtiti da mentalno brojanje treba obavljati s lijeva na desno. Šta treba učiniti da se na abakus stavi dvocifreni broj? Da bi to učinilo, dijete prvo treba lijevom rukom pokupiti zglobove koji odgovaraju deseticama, a zatim desnom rukom odvojiti potrebne jedinice na iglu za pletenje.

Dakle, za set 6, 7, 8 i 9 treba da koristite “štipac”. Ovaj proces se sastoji od spajanja kažiprsta i palca na prečku za podelu i skupljanja zglobova koji predstavljaju broj 5 i potreban broj njih na iglu za pletenje, koja se nalazi na dnu abakusa. Oduzimanje brojeva se radi na sličan način. Isti "Pinch" istovremeno odbacuje "petice" i potreban broj kamenčića ispod.

Ciljevi i rezultati metodologije

Učenje mentalne aritmetike omogućava djetetu da postigne neviđeni uspjeh u matematici. Djeca koja su završila specijalni kurs mogu lako izračunati desetocifrene brojeve u svojim glavama, pomnožiti ih i oduzeti. Ali vrijedi reći da to nije glavni cilj takve obuke. Brojanje je samo način na koji se razvijaju mentalne sposobnosti osobe.

Savladavanje mentalne aritmetike doprinosi sledećem:

• aktiviranje vizualne i slušne memorije;
• sposobnost koncentracije;
• poboljšanje genijalnosti i intuicije;
• kreativno razmišljanje;
• ispoljavanje samopouzdanja i nezavisnosti;
• brzo savladavanje stranih jezika;
• ostvarivanje sposobnosti u budućnosti.

U slučajevima kada je korišćen profesionalni pristup za savladavanje menare i specijalisti su postigli svoje ciljeve, dijete može lako početi rješavati jednostavne i složene matematičke probleme u svojoj glavi. I obavlja aritmetičke operacije za množenje i sabiranje čak i brže od kalkulatora.

Škole za podučavanje mentalne aritmetike

Gdje možete naučiti ovu jedinstvenu tehniku? Danas, da biste studirali mentalnu aritmetiku, morate se upisati u specijalizovani obrazovni centar. U njima specijalisti rade sa djecom dvije do tri godine. Pored gore opisanih koraka, pomoću kojih možete savladati tehniku, postoji još deset koraka. Štaviše, svaki od njih studenti završavaju za 2-3 mjeseca.

Svaki od ovih specijalizovanih centara razvija sopstvene programe obuke. Međutim, unatoč tome, postoje opća pravila kojih se apsolutno svi pridržavaju. One se sastoje u tome da se grupe učenika formiraju u zavisnosti od njihovog uzrasta. Dakle, postoje tri osnovne vrste takvih grupa.

Ovo su ljubazniji, klinci i mlađi. Nastavu izvode iskusni, visokokvalifikovani psiholozi i nastavnici koji su prošli odgovarajuću obuku i poseduju neophodnu sertifikaciju.

Pored centara za podučavanje mentalne aritmetike, danas postoje i specijalizovane škole koje školuju specijaliste odgovarajućeg profila. Menara učitelji su po pravilu ljudi koji imaju ne samo psihološko-pedagoško obrazovanje, već i određeno iskustvo u radu sa djecom. I ovo je veoma važno. Na kraju krajeva, učenje mentalnog abakusa nije samo ovladavanje vještinama koje vam omogućavaju rad s drevnim abakusom. U tom procesu svakako se uzimaju u obzir psihološke karakteristike u razvoju djeteta koje se koriste u pedagoškoj praksi.