Předměty: Zimní pneumatiky.
Kraj: Ukrajina.
Okraj: 13%. Propagační období: 1.09 – 31.12 2012 vs. 1.09 – 31.12 2013.
Výdaje: 42 389 UAH oproti 131 341 UAH. (včetně poplatků agentury).

Nejsem sice vystudovaný matematik, ale mám pro tuto vědu vášeň, takže v článku budou použity některé na první pohled složité matematické pojmy.

Účelem tohoto článku je mluvit o jednom zvláštním fenoménu: zdvojnásobením reklamního rozpočtu začnete vydělávat ne dvakrát tolik, ale 2,5, 3 atd. krát více. Samozřejmě do určitého bodu. Tento jev se v matematice nazývá exponenciální růst. Příkladem exponenciálního růstu by bylo zvýšení počtu bakterií v kolonii předtím, než dojde k omezení zdrojů.

Ti z vás, kteří se setkali se složeným úročením například při výpočtu výnosu z vkladů, okamžitě pochopí, o čem mluvíme, jelikož složené úročení je jen dalším příkladem exponenciálního růstu. Pokud nevyberete nahromaděné prostředky z vkladu, pak k růstu příjmů nedochází lineárně, ale exponenciálně. Stejné je to s růstem tržeb: jak se zvyšuje rozpočet na reklamu, tržby rostou exponenciálně. V rámci tohoto článku bych rád ilustroval ještě jeden fenomén. Právě kvůli tomuto fenoménu se už tak oddělení kontextové reklamy nejmenuje, ale říká se mu oddělení placené návštěvnosti. Hovoříme o synergickém efektu.

Jaký je synergický efekt? Představme si ideální situaci: existuje internetový obchod, pro jeho propagaci byla v prvním měsíci použita pouze kontextová reklama, která přinesla 20 prodejů a ve druhém měsíci pouze SEO propagace, která rovněž přinesla 20 prodejů. Ve třetím měsíci byla použita jak kontextová reklama, tak SEO – což nakonec přineslo ne 40 prodejů, ale 50. Toto je synergický efekt: situace, kdy interakce dvou nebo více faktorů dává nárůst výsledků větší než každý z těchto faktorů. mohl vyrobit samostatně.

Používáním dvou nebo více reklamních kanálů současně dosáhneme větší návratnosti. Naši internetoví marketéři, kteří z první ruky vědí o synergickém efektu, se snaží využít maximální počet reklamních kanálů. Tento malý trik doporučujeme vzít na vědomí :) Nyní přejděme ke konkrétnímu příkladu, který vše výše uvedené ilustruje – případ služby „placený provoz“ na téma pneumatiky.

Okamžitě připojím nový snímek obrazovky z Google Analytics, protože vím, že je čtenáři velmi milují:

Tento případ odráží další výsledky práce na projektu, jehož případ jsem zveřejnil v loňském roce. Srovnejme tyto dva roky. Pro začátek si porovnejme výdaje jednotlivých sezón – 2012 a 2013 (sezónou mám na mysli období od 1. září do 31. prosince):

• reklama v cenových agregátorech;
• kontextová reklama.

V sezóně 2012 byla reklama použita v Google Ads a byla umístěna ve dvou cenících: Yandex.Market a Hotline.ua. V podobné sezóně 2013 se již reklama používala v Google Ads, Yandex.Direct a 10 cenových agregátorech. Využití dalších reklamních kanálů zvýšilo náklady o téměř 310 %. Nyní se podívejme, jak se příjmy z projektu zvýšily se zvýšením reklamních nákladů o 310 %:

Vidíme tedy, že zvýšením nákladů na reklamu o 310 % jsme zvýšili příjem klienta nikoli o 310 %, ale o 573 %. Úžasné, že?! To znamená, že růst příjmů ve srovnání s výdaji neprobíhá lineárně, ale exponenciálně.

Při získání takového výsledku samozřejmě došlo k synergickému efektu.

Podívejme se na růst hrubého zisku:

Ukažme si také, jak rostl počet transakcí:

Tento snímek obrazovky nám umožňuje vyvodit závěry o situaci s průměrnou kontrolou. Pokud se příjem zvýšil o 573 % a počet prodejů o 557 %, pak je zřejmé, že průměrná kontrola se mírně zvýšila.

S údaji o příjmech z Google Analytics, výdajích a maržích vypočítejme nejdůležitější ukazatel výkonnosti – ROMI (návratnost marketingových investic) pomocí následujícího vzorce:

ROMI = ((Příjmy × Marže) - Výdaje klienta) / Výdaje klienta

Porovnejme tedy výsledky ROMI obou sezón:

Je důležité si uvědomit, že při výpočtu ROMI jsme vzali v úvahu pouze příjmy, které Google Analytics ukazuje, což znamená, že jsme nebrali v úvahu dalších 80 % prodejů, které byly uskutečněny po telefonu, to znamená, že jsme brali v úvahu pouze 20 % z přijatých příjmů klienta – to je jen 5. část.

Velmi zajímavá situace nastává, když počítáme naše ROMI s ohledem na 80 % telefonických objednávek. Abychom to udělali, vynásobme náš příjem 5 a pak počítejme jako obvykle:

Růst ROMI založený na příjmu, který se blíží realitě, vypadá ještě atraktivněji. Pointa však není jen v ROMI, ale ve skutečném nárůstu obratu: výrazně více klientů -> výrazně vyšší tržby.

Nyní ještě jednou výsledky sezóny 2013

Výdaje klienta: 131 341 UAH. (včetně poplatků agentury). Okraj: 13%. Počet transakcí: 880. Příjem Google Analytics: 1 317 166,2 UAH. Hrubý zisk (včetně telefonických objednávek): 856 158 UAH. ROMI hrubým ziskem (včetně telefonické objednávky) : 551,86%.

Dosažený výsledek je samozřejmě daleko od limitu: existuje prostor pro navýšení reklamního rozpočtu > existuje prostor pro růst příjmů klienta. V příští sezóně určitě využijeme další reklamní kanály (jejich počet snad nikdy neskončí).

Mezi funkcemi, které musíte mít v nové sezóně, je použití nástroje pro sledování telefonických objednávek ifTheyCall. Jedná se o novinku od Netpeaku, kterou jsme v sezóně září-prosinec 2013 prostě nestihli využít. Tento nástroj vám umožní přesněji posoudit dopad každého reklamního kanálu, přerozdělit rozpočet a být ještě efektivnější.

Výsledky ilustruji ve formě obrázků.

Jak můžete vidět z grafu, bod zvratu je níže. Do této chvíle se investice do reklamy nevyplatí. Pokud například utratíte 100 UAH. získat 100 kliknutí - pravděpodobnost prodeje, který by tyto investice vrátil, je prakticky rovna 0. Druhý bod na grafu je bod optima (říkejme tomu tak) - tehdy investujete maximum peněz do reklama a získat maximální příjem. Po tomto bodě dochází k posunu k saturaci, tedy k nasycení trhu, k pokrytí všech potenciálních kupujících reklamou a zvýšení investic do reklamy již nemá za následek zvýšení příjmů. Pokud je váš rozpočet na reklamu pod bodem zvratu, je pravděpodobné, že investováním dvojnásobné částky do reklamy váš příjem exponenciálně poroste, dokud nedosáhnete optimálního bodu.

• synergický efekt z používání 2 nebo více reklamních kanálů současně:

K této ilustraci zbývá dodat jen vyzkoušet nové reklamní kanály :)

Exponent je číslo, které ukazuje, kolikrát musí být veličina vynásobena sama sebou. Pokud je například exponent 3 a velikost 4, pak výraz 4 3 znamená 4 x 4x4, což je 64. Matematické vyjádření ve 2 prostředek na X na a číslo 2 je exponent.

Jak se liší exponenciální růst od lineárního růstu? Při lineárním růstu se hodnota zvyšuje v každé fázi o to samé ok a ne na násobekčíslo. Pokud je můj počáteční kapitál 1 000 USD a každý rok se zvyšuje o 100 USD, pak ho za 10 let zdvojnásobím a budu mít 2 000 USD. Jedná se o lineární růst, každý rok o stejnou částku. Ale pokud se můj počáteční kapitál 1 000 $ každý rok zvýší o 10 procent, pak po deseti letech budu mít 2 594 $. Toto je příklad exponenciálního růstu s konstantním ročním nárůstem násobkem 1,1. Pokud budu pokračovat ve svém podnikání dalších 10 let, pak mi lineární růst dá celkem 3 000 $, zatímco exponenciální růst mi dá celkem 6 727 $.

Jakýkoli trh nebo podnik, který si udrží tempo růstu 10 procent nebo více po delší dobu, zažije mnohem větší tvorbu hodnoty, než intuitivně odhadujeme. Některé společnosti – např. IBM nebo McDonald's za období od roku 1950 do

1985 nebo Microsoft v 90. letech – podařilo se dosáhnout tempa růstu přesahujícího 15 procent ročně a mnohonásobně navýšit svůj kapitál. Pokud začnete se 100 dolary a po dobu 15 let budete růst svého kapitálu o 15 procent ročně, skončíte s 3 292 dolary, což je téměř 33násobek toho, s čím jste začínali. Malé zvýšení procenta růstu znamená velký rozdíl ve výsledcích.

Například americký burzovní makléř William O'Neill vytvořil fond pro své spolužáky a spravoval jej od roku 1961 do roku 1986. Během této doby se původních 850 USD po zaplacení všech daní * změnilo na 51 653 USD * Za 25 let byl průměrný nárůst 17. 85 procenta ročně, což se promítlo do 61násobného nárůstu původní částky. Vidíme tedy, že pokud za 25 let 15procentní růst navýší kapitál 33krát, pak přidání méně než 3 procentních bodů k roční míře růstu zvýší hodnotu. výsledek 33krát.

Exponenciální růst mění věci nejen kvantitativně, ale i kvalitativně. Například s rychlým růstem odvětví – Peter Drucker uvádí toto číslo na 40 procent za 10 let – se mění jeho samotná struktura a do popředí se dostávají noví lídři trhu. Rychlý růst trhů je poháněn inovacemi, nedostatkem vzorů, novými produkty, technologiemi nebo spotřebiteli. Inovátoři z definice dělají věci jinak než všichni ostatní. Nové způsoby zřídka koexistují se zvyky, nápady, postupy a strukturami stávajících firem. Inovátoři mají často příležitost několik let ubírat, dokud se tradiční vůdci nerozhodnou zahájit protiútok, ale pak už může být pozdě.

Pokud je růst populace úměrný počtu jedinců, velikost populace poroste exponenciálně.

Výraz „exponenciální růst“ vstoupil do našeho slovníku a znamená rychlý, obvykle nekontrolovatelný nárůst. Často se používá například pro popis rychlého růstu měst nebo nárůstu počtu obyvatel. V matematice má však tento termín přesný význam a označuje určitý typ růstu.

K exponenciálnímu růstu dochází u těch populací, ve kterých je přírůstek populace (počet narozených mínus počet zemřelých) úměrný počtu jedinců v populaci. Pro lidskou populaci je například porodnost přibližně úměrná počtu reprodukčních párů a úmrtnost přibližně úměrná počtu lidí v populaci (označujeme ji N). Pak k rozumnému přiblížení,

populační růst = počet narozených - počet zemřelých

(Tady r- tzv. koeficient úměrnosti, který nám umožňuje zapsat vyjádření úměrnosti ve formě rovnice.)

Nechat d N- počet jedinců přidaných do populace v průběhu času d t, pak pokud v populaci celkem N jednotlivců, pak budou podmínky pro exponenciální růst splněny, pokud

Protože Isaac Newton vynalezl diferenciální počet v 17. století, víme, jak vyřešit tuto rovnici pro N- velikost populace v daném okamžiku. (Pro informaci: taková rovnice se nazývá diferenciální.) Zde je její řešení:

kde N 0 je počet jedinců v populaci na začátku odpočítávání, t- čas, který od této chvíle uplynul. Symbol E označuje takové speciální číslo, je tzv základ přirozeného logaritmu(a je přibližně rovna 2,7) a nazývá se celá pravá strana rovnice exponenciální funkce.

Abyste lépe porozuměli tomu, co je exponenciální růst, představte si populaci sestávající zpočátku z jedné bakterie. Po určité době (několik hodin nebo minut) se bakterie rozdělí na dvě části, čímž se zdvojnásobí velikost populace. Po dalším časovém období se každá z těchto dvou bakterií opět rozdělí na dvě a velikost populace se opět zdvojnásobí – nyní budou čtyři bakterie. Po deseti takových zdvojení bude více než tisíc bakterií, po dvaceti - více než milion a tak dále. Pokud se populace každým dělením zdvojnásobí, její růst bude pokračovat donekonečna.

Existuje legenda (s největší pravděpodobností nepravdivá), že muž, který vynalezl šachy, udělal svému sultánovi takovou radost, že mu slíbil splnit všechny jeho požadavky. Muž požádal sultána, aby položil jedno zrnko pšenice na první pole šachovnice, dvě na druhé, čtyři na třetí a tak dále. Sultán považoval tento požadavek za bezvýznamný ve srovnání se službou, kterou poskytoval, požádal svého poddaného, ​​aby přišel s jinou žádostí, ale on odmítl. Přirozeně, že 64. zdvojnásobením se počet zrn stal takovým, že na celém světě nebude dostatek pšenice, která by uspokojila tento požadavek. Ve verzi legendy, která je mi známá, sultán v tu chvíli nařídil, aby byla useknuta hlava vynálezce. Morálka, jak říkám svým studentům, zní: někdy byste neměli být příliš chytří!

Šachovnicový příklad (stejně jako pomyslné bakterie) nám ukazuje, že žádná populace nemůže růst věčně. Dříve nebo později jí prostě dojdou zdroje – prostor, energie, voda, cokoliv. Populace proto mohou exponenciálně růst jen chvíli a dříve nebo později se jejich růst musí zpomalit. K tomu je potřeba změnit rovnici tak, aby se ve chvíli, kdy se velikost populace přiblíží možnému maximu (což může být podpořeno vnějším prostředím), tempo růstu zpomalilo. Říkejme tomu maximální velikost populace K. Pak bude upravená rovnice vypadat takto:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Když N mnohem méně K, člen N/K můžeme zanedbat a vrátíme se k původní rovnici obyčejného exponenciálního růstu. Nicméně, když N blíží své maximální hodnotě K, význam 1 – (N/K) inklinuje k nule, a proto populační růst inklinuje k nule. Celková velikost populace se v tomto případě stabilizuje a zůstává na úrovni K. Křivka popsaná touto rovnicí, stejně jako rovnice samotná, má několik jmen - S-křivka, logistická rovnice, Volterrova rovnice, Lotka-Volterrova rovnice. (Vito Volterra, 1860–1940 – významný italský matematik a učitel; Alfred Lotka, 1880–1949 – americký matematik a pojišťovací analytik.) Ať už se tomu říká jakkoli, jde o poměrně jednoduché vyjádření velikosti populace, která prudce exponenciálně roste a pak zpomalení při přibližování se k určité hranici. A odráží růst reálných populací mnohem lépe než obvyklá exponenciální funkce.

Výraz „exponenciální růst“ vstoupil do našeho slovníku a znamená rychlý, obvykle nekontrolovatelný nárůst. Často se používá například pro popis rychlého růstu měst nebo nárůstu počtu obyvatel. V matematice má však tento termín přesný význam a označuje určitý typ růstu.

K exponenciálnímu růstu dochází u těch populací, ve kterých je přírůstek populace (počet narozených mínus počet zemřelých) úměrný počtu jedinců v populaci. Pro lidskou populaci je například porodnost přibližně úměrná počtu reprodukčních párů a úmrtnost přibližně úměrná počtu lidí v populaci (označujeme ji N). Pak k rozumnému přiblížení,

populační růst = počet narozených - počet zemřelých

(Tady r- tzv faktor proporcionality, což nám umožňuje napsat výraz proporcionality jako rovnici.)

Nechat d N— počet jedinců přidaných k populaci během doby d t, pak pokud v populaci celkem N jednotlivců, pak budou podmínky pro exponenciální růst splněny, pokud

d N = rN d t

Protože Isaac Newton vynalezl diferenciální počet v 17. století, víme, jak vyřešit tuto rovnici pro N— velikost populace v daném okamžiku. (Pro informaci: tato rovnice se nazývá rozdíl.) Zde je jeho řešení:

N=NO E rt

Kde N 0 je počet jedinců v populaci na začátku odpočítávání a t- čas, který od tohoto okamžiku uplynul. Symbol e označuje takové speciální číslo, nazývá se základ přirozeného logaritmu(a je přibližně rovna 2,7) a nazývá se celá pravá strana rovnice exponenciální funkce.

Abyste lépe pochopili, co je to exponenciální růst, představte si populaci sestávající zpočátku z jedné bakterie. Po určité době (několik hodin nebo minut) se bakterie rozdělí na dvě části, čímž se zdvojnásobí velikost populace. Po dalším časovém období se každá z těchto dvou bakterií opět rozdělí na dvě a velikost populace se opět zdvojnásobí – nyní budou čtyři bakterie. Po deseti takových zdvojení bude více než tisíc bakterií, po dvaceti - více než milion a tak dále. Pokud se populace každým dělením zdvojnásobí, její růst bude pokračovat donekonečna.

Existuje legenda (s největší pravděpodobností nepravdivá), že muž, který vynalezl šachy, udělal svému sultánovi takovou radost, že mu slíbil splnit všechny jeho požadavky. Muž požádal sultána, aby položil jedno zrnko pšenice na první pole šachovnice, dvě na druhé, čtyři na třetí a tak dále. Sultán považoval tento požadavek za bezvýznamný ve srovnání se službou, kterou poskytoval, požádal svého poddaného, ​​aby přišel s jinou žádostí, ale on odmítl. Přirozeně, že 64. zdvojnásobením se počet zrn stal takovým, že na celém světě nebude dostatek pšenice, která by uspokojila tento požadavek. Ve verzi legendy, která je mi známá, sultán v tu chvíli nařídil, aby byla useknuta hlava vynálezce. Morálka, jak říkám svým studentům, zní: někdy byste neměli být příliš chytří!

Šachovnicový příklad (stejně jako pomyslné bakterie) nám ukazuje, že žádná populace nemůže růst věčně. Dříve nebo později jí prostě dojdou zdroje – prostor, energie, voda, cokoliv. Populace proto mohou exponenciálně růst jen chvíli a dříve nebo později se jejich růst musí zpomalit. K tomu je potřeba změnit rovnici tak, aby se ve chvíli, kdy se velikost populace přiblíží možnému maximu (což může být podpořeno vnějším prostředím), tempo růstu zpomalilo. Říkejme tomu maximální velikost populace K. Pak bude upravená rovnice vypadat takto:

d N = rN(1 — (N/K)) d t

Když N mnohem méně K, člen N/K můžeme zanedbat a vrátíme se k původní rovnici obyčejného exponenciálního růstu. Nicméně, když N blíží své maximální hodnotě K, hodnota 1 - ( N/K) má tendenci k nule, a proto populační růst má tendenci k nule. Celková velikost populace se v tomto případě stabilizuje a zůstává na úrovni K. Křivka popsaná touto rovnicí, stejně jako rovnice samotná, má několik jmen - S-křivka, logistická rovnice, Volterrova rovnice, Lotka–Volterrova rovnice. (Vito Volt E RRA, 1860-1940 - vynikající italský matematik a učitel; Alfred Lotka, 1880-1949 – americký matematik a pojišťovací analytik.) Ať už se to nazývá jakkoli, je to poměrně jednoduché vyjádření velikosti populace, která prudce exponenciálně roste a poté se zpomaluje, když se blíží k nějaké hranici. A odráží růst reálných populací mnohem lépe než obvyklá exponenciální funkce.

Laboratorní práce č.1.

"Populační dynamika".

Modelování populační dynamiky pomocí výpočtového programu

Cíl práce: Studujte modely populační dynamiky pomocí výpočtového programu.

Uvolněno do práce

Práci jsem udělal

Obhájil svou práci

2010 G.

1 TEORETICKÝ ÚVOD

Podle definice slavného ruského ekologa S.S. Shvarts, populace je elementární skupina organismů určitého druhu, která má všechny potřebné podmínky k tomu, aby si udržela své počty po dlouhou dobu v neustále se měnících podmínkách prostředí.

Populace, jako každý biologický otevřený systém, se vyznačuje určitou strukturou, růstem, vývojem a odolností vůči abiotickým a biotickým faktorům.

Nejdůležitějším ukazatelem blahobytu populace (udržitelnosti) a její role ve fungování přirozeného ekosystému je její velikost.

Velikost populace je dána především dvěma jevy – porodností a úmrtností a také migrací.

Plodnost - počet nových jedinců, kteří se objevili za jednotku času v důsledku rozmnožování. Během procesu reprodukce se počet jedinců teoreticky zvyšuje, je schopen neomezeného růstu.

Existují různé typy změn počtu jedinců v populaci v závislosti na čase (populační dynamice). V nejjednodušších případech lze populační dynamiku popsat jednoduchými matematickými modely, které umožňují předpovídat změny v počtu jedinců.

1. Exponenciální růst čísel.

Byl navržen jeden z prvních modelů růstu populace T. Malthus 1798, v široce známém díle "O principech populace." Tento model se nazývá exponenciálnízávislosti populační růst (křivka exponenciálního růstu). Tento model předpokládá neomezené množství přírodních zdrojů, přístupný jednotlivcům populace, a absence jakýchkoli omezujících faktorů pro růst populace. Za takových předpokladů se počet jedinců v populaci zvyšuje podle mocenského zákona, tzn. velmi rychle a neomezený.

Označíme-li podle n 0 počet jedinců v populaci a počáteční časový bod (t 0 ), a prostřednictvím Nt počet jedinců v určitém časovém okamžiku t (t>t 0). Pak změna čísla ∆N za časový interval ∆ t. těch. tempo růstu populace se bude rovnat:

(1)

Výraz (1) ukazuje průměrnou rychlost růstu populace. V populační ekologii se však častěji nepoužívá absolutní průměrná rychlost, ale rychlost růstu na organismus (specifická rychlost):

(2)

Tento indikátor umožňuje porovnat hodnoty změn v počtu populací různých velikostí. V tomto případě je abundance definována jako míra nárůstu o jednoho jedince za určitý časový interval.

Přecházíme na omezující formu rychlosti záznamu při
0 a
a zavedení nového zápisu:

(3)

Ve výrazu (3) index r lze definovat jako okamžitý specifický populační růst. Pro různé populace stejného druhu může mít tento ukazatel různé hodnoty. Největší ze všech možných hodnot (r max) se nazývá biotický nebo reprodukční potenciál populace

Vezmeme-li v úvahu výraz (3), lze rychlost růstu populace popsat následujícím výrazem

(4)

Máme-li diferencovaný výraz (4), získáme to v každém okamžiku za předpokladu r=const (rychlostní konstanta), počet jedinců v populaci se bude rovnat:
(5)

Vzorec (5) popisuje exponenciální model růstu populace, který má v grafické podobě tvar křivky (obr. 1). Model exponenciálního růstu podmínky splňuje neomezený růst počet jedinců v populaci.

Rýže. 1. Exponenciální růstová křivka počtu jedinců v populaci

1. Model růstu logistiky

Maximální velikost populace, kterou si ekosystém dokáže udržet po neomezenou dobu za stálých přírodních podmínek, se nazývá kapacita ekosystému pro tento typ.

Změna populace je vztah mezi biologickým potenciálem (sčítání jedinců) a odolností prostředí (úhyn jedinců, mortalita). Faktory odolnosti prostředí vedou ke zvýšení úmrtnosti a populační křivka dosahuje plošiny nebo dokonce klesá, pokud populační exploze způsobila vyčerpání životně důležitých zdrojů ekosystému. Křivka růstu populace s odporem prostředí se stává S-obrazný pohled (obr. 2).

Rýže. 2 . Model růstu populace ve tvaru písmene S

V přírodních podmínkách je tedy neomezený růst dříve nebo později nemožný populace dosáhne svého limitu, která je určena střední kapacita(prostorové, potravinářské atd.). Označíme-li maximálním možným počtem jedinců v populaci určitou hodnotu K (střední kapacita) a zavést korekční ukazatel, který bere v úvahu "odpor" prostředí pro růst populace ve formě poměru:

,

pak rovnice pro takový případ bude zapsána jako formulář:

(7)

Řešení této diferenciální rovnice bude mít tvar

(8)

Kde A - integrační konstanta, která určuje polohu funkce vzhledem k počátku, lze ji zjistit z výrazu (za předpokladu r= konst).

(9)

Výraz (8) popisuje tzv křivka růstu logistiky(obr. 2). Jedná se o druhý nejjednodušší matematický model populační dynamiky, který podléhá hornímu limitu velikosti populace a odolnosti prostředí vůči růstu populace. Podle tohoto modelu velikost populace na prvním místěstádium roste poměrně rychle, ale pak se tempo růstu populace zpomaluje ase v blízkosti hodnoty stává nekonečně malýmNA (logistická křivka se asymptoticky blíží k horizontále NA).